M@th

Jumat, 08 Mei 2020

BANK SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET

zulnining Mei 08, 2020 0 Comments

1. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 527

Jika $a^{2}-bc$, $b^{2}-ac$, $a^{2}-ab$ adalah barisan aritmetika dengan  $a+b+c=18$, nilai $\frac{a+c}{b}$ ....
A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $6$
E. $8$

Konsep Dasar:
Barisan aritmetika: barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berdekatan adalah sama
Misal barisan aritmetika:$U_{1},U_{2},U_{3}, ....,U_{n}$
maka beda: $b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=U_{n}-U_{n-1}$

   Pembahasan:
  $a^{2}-bc$, $b^{2}-ac$, $a^{2}-ab$ merupakan barisan aritmetika, maka:

$\;\;\;\;\;\;\;\left ( b^{2}-ac \right )-\left ( a^{2}-bc \right )=\left ( c^{2}-ab \right )-\left ( b^{2}-ac \right )$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b^{2}-ac-a^{2}+bc=c^{2}-ab-b^{2}+ac$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b^{2}-a^{2}+bc-ac=c^{2}-b^{2}+ac-ab$
$\left ( b+a \right )\left ( b-a \right )+c\left ( b-a\right )=\left ( c+b \right )\left ( c-b \right )+c\left ( c-b \right )$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( b-a \right )\left ( b+a+c \right )=\left ( c-b \right )\left ( c+b+a \right )$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b-a=c-b$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2b=a+c$

Maka nilai $\frac{a+c}{b}=\frac{2b}{b}$
$\;\;\;\;\;\;=2$

___________________________ (A)

Senin, 04 Mei 2020

BANK SOAL MATRIKS

zulnining Mei 04, 2020 1 Comments

1. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 527

Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2 \; & 3\\ -2\;&4 \end{pmatrix} \end {array}$, dan $I$ adalah matriks identitas.
Jika $A+tB-2I$ adalah matriks singular, selisih nilai-nilai $t$ yang mungkin adalah ....
A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{15}{14}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{9}{14}$
E. $\frac{5}{7}$

Konsep Dasar:
Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
maka $det(A)=|A|=a.d-b.c$
Matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers dan $det=0$
Matriks identitas: $\begin {array}{lcl} I=\begin{pmatrix} 1 \; &0 \\ 0\; &1 \end{pmatrix} \end {array}$

Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} A+tB-2I=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}2 \; & 3\\ -2\;&4 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\;&0\\0\;&1\end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2t \; & 3t\\ -2t\;&4t \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\;&0\\0\;&2\end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} -+2t\; &-1+3t \\ 1-2t\; &4t \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} det(A+tB-2I)=\begin{vmatrix} -1+2t \; &-1+3t \\ 1-2t\; &4t \end{vmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( -1+2t \right )\left ( 4t \right )-\left ( -1+3t \right )\left ( 1-2t \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}-\left ( -1+2t+3t-6t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}-\left ( -1+5t-6t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}+1-5t+6t^{2} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=14^{2}-9t+1 \end {array}$

Karena $A+tB-2I$ adalah matriks singular, maka
$det(A+tB-2I)=0$
$\;\;\;\;\;\;\,14t^{2}-9t+1=0$
$\;\,\left ( 7t-1 \right )\left ( 2t-1 \right )=0$
$\;\;\;t=\frac{1}{7}\: \vee \; t=\frac{1}{2}$
Selisih dari nilai-nilai $t$ yang mungkin adalah
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{7}$
$=\frac{5}{14}$

___________________________ (B)

2. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 540

Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix}1 \; &1 \\ -3\; &2 \end{pmatrix}\end {array}$ dan $\begin {array}{lcl} B=\begin{pmatrix}-1 \; &1 \\ -2\; &1\end{pmatrix}\end {array}$, jumlah kuadrat semua nilat yang memenuhi
$det\left ( A+2tB \right )^{-1}=\frac{1}{10}$ adalah ....

A. $\frac{9}{2}$
B. $5$
C. $6$
D. $\frac{13}{2}$
E. $\frac{17}{2}$

Konsep Dasar:
Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
maka $det(A)=|A|=a.d-b.c$
Sifat determinan matriks:
$det \left ( A^{-1} \right )=det\left ( A \right )^{-1}=\frac{1}{det\left ( A \right )}$
Misal Persamaan Kuadrat (PK): $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$
maka $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
$\;\;\;\;\;x_{1}.\, x_{2}=\frac{c}{a}$
Jumlah kuadrat akar-akar Persamaan Kuadrat (PK):

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2\, x_{1}x_{2}$

Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} A+2tB=\begin{pmatrix} 1 \; &1 \\ -3\; &2 \end{pmatrix}+2t \begin{pmatrix}-1 \; & 1\\ -2\;&1 \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} 1 \; &1 \\ -3\; &2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-2t \; & 2t\\ -4t\;&2t \end{pmatrix}\end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} 1-2t \; &1+2t \\ -3-4t\; &2+2t \end{pmatrix}\end {array}$
$\begin {array}{lcl} det(A+2tB)=\begin{vmatrix} 1-2t \; &1+2t \\ -3-4t\; &2+2t \end{vmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( 1-2t \right )\left ( 2+2t \right )-\left ( 1+2t \right )\left ( -3-4t \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( 2+2t-4t-4t^{2} \right )-\left ( -3-4t-6t-8t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( 2-2t-4t^{2} \right )-\left ( -3-10t-8t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2-2t-4t^{2}+3+10+8t{2} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=4t^{2}+8t+5 \end {array}$

$det\left ( A+2tB \right )^{-1}=\frac{1}{10}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{det\left ( A+2tB \right )}=\frac{1}{10}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{4t^{2}+8t+5}=\frac{1}{10}$
$\;\;\;\;\;4t^{2}+8t+5=10$
$\;\;\;\;\;4t^{2}+8t-5=0$

Jumlah kuadrat semua nilai $t$ adalah:
$t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=\left ( t_{1}+t_{2} \right )^{2}-2\, t_{1}t_{2}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( -\frac{8}{2} \right )^{2}-2\left ( -\frac{5}{4} \right )$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=4+\frac{5}{2}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{13}{2}$

___________________________ (D)

3. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 524
  Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} x\; &3 \\ 1\; &1 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}4 \; & 2\\ 3\;&2 \end{pmatrix} \end {array}$ dan $\begin {array}{lcl} C=\begin{pmatrix} x-6\; &-3 \\ 2\; &x-1 \end{pmatrix}\end {array}$. Jika $det\left ( A^{-1}BC \right )=6$.
Nilai $x-7$ adalah ....
  A. $0$
B. $1$
C. $3$
D. $4$
E. $7$

  Konsep Dasar:

Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
maka $det(A)=|A|=a.d-b.c$
Sifat determinan matriks:
$det \left ( A^{-1} \right )=det\left ( A \right )^{-1}=\frac{1}{det\left ( A \right )}$
$det\left ( AB \right )=det\left ( A \right ).\, det\left ( B \right )$

Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} x\; &3 \\ 1\; &1 \end{pmatrix} \end {array}$, maka $det\left ( A \right )=\begin{vmatrix}x &3 \\1 & 1\end{vmatrix}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x.1-3.1$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x-3$
$\begin {array}{lcl} B=\begin{pmatrix} 4\; &2 \\ 3\; &2\end{pmatrix} \end {array}$, maka $det\left ( B \right )=\begin{vmatrix}4 &2 \\2 & 2\end{vmatrix}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=4.2-2.3$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2$
$\begin {array}{lcl} C=\begin{pmatrix} x-6\; &-3 \\ 2\; &x-1\end{pmatrix} \end {array}$, maka $det\left ( C \right )=\begin{vmatrix}x-6 &-3 \\2 & x-1\end{vmatrix}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( x-6 \right )\left ( x-1 \right )-\left ( -3 \right ).\, 2$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^{2}-x-6x+6+6$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^{2}-7x+12$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;det\left ( A^{-1}BC \right )=6$
$\;det\left ( A^{-1} \right ).\,det\left ( B \right ).\, \left ( C \right )=6$
$\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{det\left ( A\right )}\, .\, det\left ( B \right ).\, \left ( C \right )=6$
$\frac{1}{\left (\;\;x-3 \right )}\, .2.\, \left ( x^{2}-7x+12 \right )=6$
$\;\;\;\;\frac{1}{\left (x-3 \right )}\, . \, \left ( x^{2}-7x+12 \right )=3$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}-7x+12=3\left ( x-3 \right )$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}-7x+12=3x-9$
$\;\;\;\;x^{2}-7x-3x+12+9=0$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}-10x+21=0$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( x-7 \right )\left (x-3 \right )=0$

Nilai $x-7=0$

___________________________ (A)

4. SIMAK UI 2018 MATEMATIKA DASAR KODE 641

  Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; &-3 \\ 1\; &d \end{pmatrix}\end {array}$. Jika $A=A^{-1}$, nilai $|a-d|$ = ....
  A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$

  Konsep Dasar:

Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
maka invers matriks $A$: $A^{-1}=\frac{1}{a.b-b.c}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c& a\end{pmatrix}$

Kesamaan dua matriks: unsur seletak nilainya sama

$\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$\left ( a+b \right )^{2}=\left ( a-b \right )^{2}+4ab$
Sifat nilai mutlak:
$\left | x \right |=\sqrt{x^{2}}$

Pembahasan:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A=A^{-1}$
$\begin {array}{lcl}\begin{pmatrix}a &-3 \\1& d\end{pmatrix}=\frac{1}{ad+3}\begin{pmatrix}d & 3\\ -1& a\end{pmatrix} \end {array}$

$\begin {array}{lcl}\begin{pmatrix}a &-3 \\1& d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{d}{ad+3} &\frac{3}{ad+3} \\ \frac{-1}{ad+3}& \frac{a}{ad+3}\end{pmatrix} \end {array}$

Dari kesamaan matriks tersebut, diperoleh:

$\;\;\;\;\;\;\;\;1=\frac{-1}{ad+3}$

$ad+3=-1$

$\;\;\;\;\;\;ad=-4$

$a=\frac{d}{ad+3}$

$a=\frac{d}{-4+3}$

$a=-d$, sehingga

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a+d=0$ (kedua ruas dipangkatkan dua)

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a+d \right )^{2}=0$

$\left ( a-d \right )^{2}+4ad=0$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a-d \right )^{2}=-4ad$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a-d \right )^{2}=-4\left ( -4 \right )$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a-d \right )^{2}=16$

$\;\;\;\;\;\;\sqrt{\left ( a-d \right )^{2}}=\sqrt{16}$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left | a-d \right |=4$

___________________________ (E)

Senin, 20 April 2020

Ujian Tulis UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

zulnining April 20, 2020 0 Comments

1. Jika rata-rata $a$, $b$, $c$ dan $a^{2}$, $b^{2}$,$c^{2}$ berturut-turut adalah 2 dan 4, maka rata-rata dari $ab$, $bc$, $ca$ adalah

$....$

A. $\frac{10}{3}$

B. $\frac{11}{3}$

C. $4$

D. $\frac{13}{3}$

E. $\frac{14}{3}$

Pembahasan:

rumus rata-rata atau mean adalah

$\bar{x}=\frac{1}{n}\left (x _{1} \: +\: x_{2}\: +\: ....\: +\: x_{n}\right )$

$\frac{a+b+c}{3}=2\Leftrightarrow a+b+c=6$

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}=4\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$

$a+b+c=6$ (kedua ruas dikuadratkan)

$\left ( a+b+c \right )^{2}=6^{2}$

$\left ( a+b+c \right )\left ( a+b+c \right )=36$

$a^{2}+ab+ca+ab+b^{2}+bc+ca+bc+c^{2}=36$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=36$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\left ( ab+bc+ca \right )=36$

$\begin{array} \ 12+2\left ( ab+bc+ca \right )=36\end{array} $

$\begin{array} \ 2\left ( ab+bc+ca \right )=24\end{array} $

$ab+bc+ca=12$

rata-rata dari $ab$, $bc$, $ca$

$\frac{ab+bc+ca}{3}=\frac{12}{3}$
$=4$

___________________________________ C

2. Diketahui $f\left ( x \right )=x^{2}+1$ dan $g\left ( x \right )=ax+2$, dengan $a\neq 0$.
Jika $\left ( f\, o\, g^{-1} \right )\left ( 1 \right )=5$, maka $4a^{2}-3=\: ....$
A. -3
B. -2
C. -1
D. 1
E. 2

Pembahasan:
$g\left ( x \right )=ax+b$ maka $g^{-1}\left ( x \right )=\frac{x-b}{a}$

$f\left ( x \right )=x^{2}+1$
$g\left ( x \right )=ax+2$ maka $g^{-1}\left ( x \right )\frac{x-2}{a}$
$\begin{aligned}\left ( f\, o\, g^{-1} \right ) \left ( 1 \right )=5\\
f\left ( g^{-1} \left ( 1 \right )\right )=5\\
f\left ( \frac{1-2}{a} \right )=5\\
f\left ( \frac{-1}{a} \right )=5\\
\left ( \frac{-1}{a}^{2} \right )+1=5\\
\frac{1}{a^{2}}=4\\
a^{2}=\frac{1}{4}\end{aligned}$

maka
$4a^{2}-3=4\frac{1}{4}-3$
$ =1-3$
$=-2$

___________________________________________ B

Untuk lebih lengkapnya dapat di download di https://drive.google.com/file/d/1UE5PtNu1bUzpI5wdrrCosqEIdv2HI7F7/view?usp=sharing

Minggu, 24 September 2017

Simak UI 2011 Kode 211 Materi Eksponen

zulnining September 24, 2017 0 Comments

Jika solusi dari persamaan $\begin{array}{lcl} 5^{x+5} =7^{x} \end{array}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\begin{array}{lcl} x=\; ^{a}\textrm{log}\; 5^{5} \end{array}$, maka nilai $a$ adalah ....

$\begin{array}{lcl} A.\; \frac{5}{12}\\ B.\; \frac{5}{7}\\ C.\; \frac{7}{5}\\ D.\; \frac{12}{7}\\ E.\; \frac{12}{5}\\ \end{array}$

Pembahasan:
KonseR

$\begin{array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \: a\: ^{f\left ( x \right )}=b\: ^{g\left ( x \right )}\\ f\left ( x \right )log\: a=g\left ( x \right )log\: b\\\\ log\: a+log\: b=log\: ab\\ log\: a-log\: b=log\: \frac{a}{b}\\ ^{a}\textrm{log}\: b=\frac{log\: b}{log\: a} \end{array}$

$\begin{array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 5^{x+5}=7^{x}\\ \; \; \; \; \, \left ( x+5 \right )\: log\: 5=x\: log\: 7\\ x\: log\: 5+5\: log\: 5=x\: log\: 7\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; log\: 5=x\: log\: 7-x\: log\: 5\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: log\: 5^{5}=x\left (log\: 7-\: log\: 5 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; log\: 5^{5}=x\left ( log\: \frac{7}{5} \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=\frac{log\: 5^{5}}{log\: \frac{7}{5}}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\: ^{\frac{7}{5}}\textrm{log}\: log\: 5^{5} \end{array}$
Nilai $\begin{array}{lcl} a=\frac{7}{5} \end{array}$

Jawaban ______________________________________ (C)

SNMPTN 2010 Kode 336 Materi Eksponen

zulnining September 24, 2017 0 Comments

Jika $n$ memenuhi $\begin{array}{lcl} \underbrace{25^{0,25}\; x\; 25^{0,25}\; x\; 25^{0,25}\; x\; ....x\; 25^{0,25}}=125\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; n\; faktor \end{array}$ maka $(n-3)(n+2)$ = ....
A. 24
B. 26
C. 28
D. 32
E. 36

Pembahasan:

$\begin{array}{lcl} \; \; \; \; \: \underbrace{25^{0,25}\; x\; 25^{0,25}\; x\; 25^{0,25}\; x\; ....x\; 25^{0,25}}=125\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; n\; faktor\\ \underbrace{\left (5^{2} \right )^{\frac{1}{4}}\; x\; \left (5^{2} \right )^{\frac{1}{4}}\; x\; \left (5^{2} \right )^{\frac{1}{4}}\; x\; ....x\; \left (5^{2} \right )^{\frac{1}{4}}}=125\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; n\; faktor\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underbrace{5^{\frac{1}{2}}\; x\; 5^{\frac{1}{2}}\; x\; 5^{\frac{1}{2}}\; x\; ....x\; 5^{\frac{1}{2}}}=125\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; n\; faktor\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 5_{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; n\; faktor}^{\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{2}}}=125\\ \end{array}$
$\begin{array}{lcl} 5^{\frac{1}{2}n}= 5^{3}\\ \; \frac{1}{2}n = 3\\ \; \; \; n=6\\\\ \left ( n-3 \right )\left ( n+2 \right )=\left ( 6-3 \right )\left ( 6+2 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: =\left ( 3 \right )\left ( 8 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =24 \end{array}$

Jawaban ___________________________ (A)

SPMB 2006 Materi Eksponen

zulnining September 24, 2017 0 Comments

Jumlah semua nilai $x$yang memenuhi persamaan $9^{x^{2}-3x+1}+9^{x^{2}-3x}=20-10\left ( 3^{x^{2}-3x} \right )$ ....
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Pembahasan:

$\begin{array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 9^{x^{2}-3x+1}+9^{x^{2}-3x}=20-10\left ( 3^{x^{2}-3x} \right )\\ \left ( 3^{2} \right )^{x^{2}-3x}\; \cdot \: 9^{1}+\left (3^{2} \right )^{x^{2}-3x}=20-10\left ( 3^{x^{2}-3x} \right )\\ \; \; 9\left ( 3^{x^{2}-3x} \right )^{2}+\left ( 3^{x^{2}-3x} \right )^{2}=20-10\left ( 3^{x^{2}-3x} \right )\\\\ Misal \; 3^{x^{2}-3x}=y\\\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 9y^{2}+y^{2}=20-10y\\ 10y^{2}+10y-20=0\; \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; (dibagi\; 10)\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; y^{2}+y-2=0\\ \; \; \left ( y+2 \right )(y-1)=0 \end{array}$ $\begin{array}{lcl} y=-2\; atau\; y=1\; \; \; \; \; \; \; \; \; (ambil \; y=1,\; y=-2\; TM\; tidak\; memenuhi)\\\\ 3^{x^{2}-3x}=1\\ 3^{x^{2}-3x}=3^{0}\\ x^{2}-3x=0\\ x\left ( x-3 \right )=0\\ x=0\; atau\; x=3\\\\ x_{1}=0\\ x_{2}=3\\\\ x_{1}+x_{2}=0+3\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;=3 \end{array}$

Jawaban __________________________ (D)

Jumat, 22 September 2017

Soal dan Pembahasan Eksponen

zulnining September 22, 2017 0 Comments

1. UM UGM 2005 Kode 821
Jika $\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$, maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ = ....
    A. 25
    B. 20
    C. 15
    D. 10
    E. 5

    Pembahasan:
    KonseR
$\begin{array}{lcl} \bigstar \; \sqrt{\left ( a+b \right )+\sqrt{a\cdot b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \sqrt{\left ( 0,3 \right )+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \sqrt{\left ( 0,3 \right )+\sqrt{4}\cdot \sqrt{0,02}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \sqrt{\left ( 0,3 \right )+2\sqrt{0,02}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ \sqrt{\left ( 0,2+0,1 \right )+2\sqrt{\left (0,2 \right )\left ( 0,1 \right )}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \sqrt{0,2}+\sqrt{0,1}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \end{array}$
   $\begin{array}{lcl} \sqrt{a}&=&\sqrt{0,2}\\ a&=&0,2\\ &=&\frac{2}{10}\\ &=&\frac{1}{5}\\\\ \sqrt{b}&=&\sqrt{0,1}\\ b&=&0,1\\ &=&\frac{1}{10}\\\\ \end{array}$
   $\begin{array}{lcl} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}&=&\frac{1}{\frac{1}{5}}+\frac{1}{\frac{1}{10}}\\ &=&5+10\\ &=&15 \end{array}$

   Jawaban ____________________________________ (C)

2. SPMB 2006 Kode320
    Diketahui$\begin{array}{lcl} 4^{x}=25\;\; \; dan \; 5^{y}=\frac{1}{8} \end{array}$. Bila $y$
    nyatakan dalam $x$, diperoleh $y$ = ....
    A. $\begin{array}{lcl} -\frac{3}{x} \end{array}$
B. $\begin{array}{lcl} -\frac{2}{x} \end{array}$
C. $\begin{array}{lcl} -\frac{x}{3} \end{array}$
D. $\begin{array}{lcl} -\frac{x}{2} \end{array}$
    E. $\begin{array}{lcl} -\frac{2x}{3} \end{array}$

Pembahasan:
$\begin{array}{lcl} 4^{x}&=&25\\ \left ( 2^{2} \right )^{x}&=&25\\ \left (2^{x} \right )^{2}&=&25\\ 2^{x}&=&5\\\\ 5^{y}&=&\frac{1}{8}\\ \left ( 2^{x} \right )^{y}&=&8^{-1}\\ 2^{xy}&=&\left ( 2^{3} \right )^{-1}\\ 2^{xy}&=&2^{-3}\\ xy&=&-3\\ y&=&-\frac{3}{x} \end{array}$

Jawaban ____________________________________ (A)

Kamis, 21 September 2017

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matriks (Bagian 1)

zulnining September 21, 2017 0 Comments

1. SPMB 2004 Regional III
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2 \; &1 \\ -2\; &3 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} a\\ 1 \end{pmatrix} \end {array}$, dan $\begin {array}{lcl} C=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix} \end {array}$ memenuhi $AB=C$, maka $|a-b|$
    = ....
    A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; AB=C\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} 2 \; &1 \\ -2 \; &3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \left ( 2 \right )\left ( a \right )+\left ( 1 \right )\left ( 1 \right )\\ \left ( -2 \right )\left ( a \right ) +\left ( 3 \right )\left ( 1 \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} 2a+1\\ -2a+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\\\ 2a+1=11\\ \; \; \; \; \; \; 2a=10\\ \; \; \; \; \; \; \; \; a=5 \end {array}$
  $\begin {array}{lcl} \; \; \; -2a+3=1-4b\\ -2\left ( 5 \right )+3=1-4b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -7=1-4b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=2\\\\ |a-b|=|5-2|\\ \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \: =3 \end {array}$

Jawaban ___________________________________ (B)

2. SPMB 2004 Regional III
    Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 3\; &7 \\ 1\: &2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 4\; &1 \end{pmatrix},\; dan\; C=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \end {array}$
    memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y$ = ....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2

Pembahasan:
  $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 3\; &7 \\ 1\: &2 \end{pmatrix}\\ A^{-1}=\frac{1}{\left ( 3 \right )\left ( 2 \right )-\left ( 7 \right )\left ( 1 \right )}\begin{pmatrix} 2\; &-7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =-\begin{pmatrix} 2\; &-7 \\ -1\; &3 \end{pmatrix} \\ \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} -2\; &7 \\ 1\; &-3 \end{pmatrix}\\\\ \; \; B=\begin{pmatrix} 4\; &1 \end{pmatrix}\\ B^{T}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; A^{-1}B^{T}=C\\ \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} -2\; &7 \\ 1\; &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \left (-2 \right )\left ( 4 \right )+\left ( 7 \right )\left ( 1 \right )\\ \left (1 \right )\left ( 4 \right )+\left ( -3 \right )\left ( 1 \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\\\ x=-1\\ y=1\\\\ x+y=\left ( -1 \right )+1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; =0 \end {array}$

    Jawaban ___________________________________ (C)

3. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2x+1\; &3 \\ 6x-1\; & 5 \end{pmatrix} \end {array}$ tidak mempunyai invers, maka nilai $x$ adalah ....
    A. -2
    B. -1
    C. 0
    D. 1
    E. 2

    Pembahasan:
    Matriks $A$ tidak mempunyai invers, maka $detA=0$
  $\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \begin{vmatrix} 2x+1\; &3 \\ 6x-1\; & 5 \end{vmatrix}=0\\ \left ( 2x+1 \right )\left ( 5 \right )-\left ( 3 \right )\left ( 6x-1 \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 10x+5-18x+3=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -8x+8=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -8x=-8\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: x=1 \end {array}$

Jawaban ___________________________________ (B)

4. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; &1-a \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\; dan\; A^{-1}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix} \end {array}$ maka nilai $b$ adalah ....
    A. -1
    B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
E. 1

Pembahasan:
  $\begin {array}{lcl} \; \; \; \: A=\begin{pmatrix} a\; &1-a \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\ A^{-1}=\frac{1}{\left ( a \right )\left ( 1 \right )-\left ( 1-a \right )\left ( 0 \right )} \begin{pmatrix} 1\; &-1+a \\ 0\; & a \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\frac{1}{a} \begin{pmatrix} 1\; &-1+a \\ 0\; & a \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} \frac{1}{a}\; &\frac{-1+a}{a} \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\\\ A^{-1}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix} \end {array}$
  $\begin {array}{lcl} \begin{pmatrix} \frac{1}{a}\; &\frac{-1+a}{a} \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\\\ \frac{1}{a}=2\\\\ \; \; \; \: \frac{-1+a}{a}=b\\ -\frac{1}{a}+1=b\\ -2+1=b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-1 \end {array}$

Jawaban ___________________________________ (A)

5. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{pmatrix} \end {array}$ tidak mempunyai invers, maka nilai $a$ adalah ....
A. -2 atau 2
B. $-\sqrt{2}$ atau $\sqrt{2}$
C. -1 atau 1
D. 2
E. $2\sqrt{2}$

Pembahasan:
Matriks A tidak mempunyai invers, maka
$\begin {array}{lcl} detA=0\\ \begin{vmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{vmatrix}=0\\\\ \begin{vmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{vmatrix}\begin{matrix} a\; &2 \\ 1\; &a \\ a\; &2 \end{matrix}=0\\ \left ( a \right )\left ( a \right )\left ( 5 \right )+\left ( 2 \right )\left ( 4 \right )\left ( a \right )+\left ( 3 \right )\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )-\left ( a \right )\left ( a \right )\left ( 3 \right )-\left ( 2 \right )\left ( 4 \right )\left ( a \right )-\left ( 5 \right )\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )=0\\ 5a^{2}+8a+6-3a^{2}-8a-10=0\\ 2a^{2}-4=0\\ \; \; a^{2}-2=0 \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; a^{2}-2=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; a^{2}=2\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: a=\pm \sqrt{2}\\\\ a=-\sqrt{2}\; atau \; a=\sqrt{2} \end {array}$

   Jawaban ___________________________________ (B)

Matriks-3 (Determinan & Invers Matriks berordo 3 x 3)

zulnining September 21, 2017 1 Comments

# Determinan Matriks Persegi Berordo 3 x 3 Menggunakan Aturan Sarrus
Misal $A=\begin{pmatrix} a_{11}\; &a_{12}\; &a_{13} \\ a_{21}\; &a_{22} \; &a_{23} \\ a_{31}\;&a_{32}\; & a_{33} \end{pmatrix}$
   $\begin{array}{lcl} detA=|A|=\begin{vmatrix} a_{11}\; &a_{12}\; &a_{13} \\ a_{21}\; &a_{22} \; &a_{23} \\ a_{31}\;&a_{32}\; & a_{33} \end{vmatrix}\begin{matrix} a_{11}\; &a_{12} \\ a_{21}\; & a_{22}\\ a_{31}\; & a_{32} \end{matrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12} \end{array}$

Contoh:
Hitunglah determinan matriks $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; & 0\; &1 \\ -1\; & 3\; &0 \\ 1\; &0\; &2 \end{pmatrix} \end{array}$

Pembahasan:
$\begin{array}{lcl} detA=\begin{vmatrix} 1\; & 0\; &1 \\ -1\; & 3\; &0 \\ 1\; &0\; &2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1\; &0 \\ -1\; & 3\\ 1\; &0 \end{matrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =\left ( 1 \right )\left ( 3 \right )\left ( 2 \right )+\left ( 0 \right )\left ( 0 \right )\left ( 1 \right )+\left ( 1 \right )\left ( -1 \right )\left ( 0 \right )-\left ( 1 \right )\left ( 3 \right )\left ( 1 \right )-\left ( 0 \right )\left ( 0 \right )\left ( 1 \right )-\left ( 2 \right )\left ( -1 \right )\left ( 0 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =6+0+0-3-0-0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =3 \end{array}$

# Determinan Matriks Berordo 3 x 3 Menggunakan Kofaktor
   Menentukan minor $(M)$ dan kofaktor $(C)$ dari matriks berordo 3
   Misal matriks $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a_{11}\; &a_{12}\; &a_{13} \\ a_{21}\; &a_{22}\; & a_{23}\\ a_{31}\; &a_{32}\; & a_{33} \end{pmatrix} \end{array}$
   Minor dan kofaktor dari matriks $A$
   1. $\begin{array}{lcl} M_{11}=\begin{vmatrix} a_{22 }\; & a_{23}\\ a_{32}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ C_{11}=\left ( -1 \right )^{1+1}M_{11}=\begin{vmatrix} a_{22 }\; & a_{23}\\ a_{32}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

   2. $\begin{array}{lcl} M_{12}=\begin{vmatrix} a_{21 }\; & a_{23}\\ a_{31}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ C_{12}=\left ( -1 \right )^{1+2}M_{12}=-\begin{vmatrix} a_{21 }\; & a_{23}\\ a_{31}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

   3. $\begin{array}{lcl} M_{13}=\begin{vmatrix} a_{21 }\; & a_{22}\\ a_{31}\; & a_{32} \end{vmatrix}\\ C_{13}=\left ( -1 \right )^{1+3}M_{13}=\begin{vmatrix} a_{21 }\; & a_{22}\\ a_{31}\; & a_{32} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

   4. $\begin{array}{lcl} M_{21}=\begin{vmatrix} a_{12 }\; & a_{13}\\ a_{32}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ C_{21}=\left ( -1 \right )^{2+1}M_{21}=-\begin{vmatrix} a_{12 }\; & a_{13}\\ a_{32}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

   5. $\begin{array}{lcl} M_{22}=\begin{vmatrix} a_{11 }\; & a_{13}\\ a_{31}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ C_{22}=\left ( -1 \right )^{2+2}M_{21}=\begin{vmatrix} a_{11 }\; & a_{13}\\ a_{31}\; & a_{33} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

   6. $\begin{array}{lcl} M_{23}=\begin{vmatrix} a_{11 }\; & a_{12}\\ a_{31}\; & a_{32} \end{vmatrix}\\ C_{23}=\left ( -1 \right )^{2+3}M_{23}=-\begin{vmatrix} a_{11 }\; & a_{12}\\ a_{31}\; & a_{32} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

   7. $\begin{array}{lcl} M_{31}=\begin{vmatrix} a_{12 }\; & a_{13}\\ a_{22}\; & a_{23} \end{vmatrix}\\ C_{31}=\left ( -1 \right )^{3+1}M_{31}=\begin{vmatrix} a_{12 }\; & a_{13}\\ a_{22}\; & a_{23} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

   8. $\begin{array}{lcl} M_{32}=\begin{vmatrix} a_{11 }\; & a_{13}\\ a_{21}\; & a_{23} \end{vmatrix}\\ C_{32}=\left ( -1 \right )^{3+2}M_{32}=-\begin{vmatrix} a_{11 }\; & a_{13}\\ a_{21}\; & a_{23} \end{vmatrix}\\ \end{array}$

Determinan dari matriks $A$ (pilih salah satu saja)
   $\begin{array}{lcl} 1.\; detA=|A|=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\ 2.\; detA=|A|=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+a_{23}C_{23}\\ 3.\; detA=|A|=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33}\\ 4.\; detA=|A|=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}\\ 5.\; detA=|A|=a_{12}C_{12}+a_{22}C_{22}+a_{32}C_{32}\\ 6.\; detA=|A|=a_{13}C_{13}+a_{23}C_{23}+a_{33}C_{33}\\ \ \end{array}$

Contoh:
Hitunglah determinan matriks menggunakan kofaktor $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 1 \; & 0\; &1 \\ -1\; &3\; &0 \\ 1\; & 0\; &2 \end{pmatrix} \ \end{array}$
Pembahasan:
Untuk menghitung determinan matriks $A$ dengan menggunakan kofaktor,
kita menggunakan rumus 1 (bisa dipilih)
$\begin{array}{lcl} a_{11}=1\\ C_{11}=\begin{vmatrix} 3\; &0 \\ 0\; & 2 \end{vmatrix}\\ C_{11}=6\\\\ a_{12}=0\\ C_{12}=-\begin{vmatrix} -1\; &0 \\ 1\; & 2 \end{vmatrix}\\ C_{12}=2\\ \ \end{array}$
$\begin{array}{lcl} a_{13}=1\\ C_{13}=\begin{vmatrix} -1\; &3 \\ 1\; & 0 \end{vmatrix}\\ C_{13}=0-3\\ C_{13}=-3\\\\ detA=|A|=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =\left ( 1 \right )\left ( 6 \right )+\left ( 0 \right )\left ( 2 \right )+\left ( 1 \right )\left ( -3 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =6+0-3\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =3 \ \end{array}$

# Invers Matriks Berordo 3 x 3
   Misal $A$ adalah matriks berordo 3 x 3, invers matriks $A$ adalah:
   $\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} a_{11}\; & a_{12}\; &a_{13} \\ a_{21}\; &a_{22} \; &a_{23} \\ a_{31}\; &a_{32} \; &a_{33} \end{pmatrix}\\\\ Matriks\; kofaktor\;A=\begin{pmatrix} C_{11}\; & C_{12}\; &C_{13} \\ C_{21}\; &C_{22} \; &C_{23} \\ C_{31}\; &C_{32} \; &C_{33} \end{pmatrix} \\\\ Adj\: A=\begin{pmatrix} C_{11}\; & C_{21}\; &C_{31} \\ C_{12}\; &C_{22} \; &C_{32} \\ C_{13}\; &C_{23} \; &C_{33} \end{pmatrix},\; adj\: A\; merupakan\; transpose \; dari\; matriks\; kofaktor \\\\ A^{-1}=\frac{1}{det\: A}\: adj\: A \end{array}$

Contoh:
Carilah invers dari matriks $\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; & 0\; &1 \\ -1\; &3 \; &0 \\ 1\; &0 \; &2 \end{pmatrix} \end{array}$

Pembahasan:
$\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; & 0\; &1 \\ -1\; &3 \; &0 \\ 1\; &0 \; &2 \end{pmatrix}\\ detA=\begin{vmatrix} 1\; & 0\; &1 \\ -1\; &3 \; &0 \\ 1\; &0 \; &2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1\; & 0\\ -1\; &3 \\ 1\; &0 \end{matrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =\left ( 1 \right )\left ( 3 \right )\left ( 2 \right )+\left ( 0 \right )\left ( 0 \right )\left ( 1 \right )+\left ( 1 \right )\left ( -1 \right )\left ( 0 \right )-\left ( 1 \right )\left ( 3 \right )\left ( 1 \right )-\left ( 0 \right )\left ( 0 \right )\left ( 1 \right )-\left ( 2 \right )\left ( -1 \right )\left ( 0 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =6+0+0-3-0-0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =3 \end{array}$
$\begin{array} {lcl} C_{11}=\begin{vmatrix} 3\; & 0\\ 0\; &2 \end{vmatrix}=6\\ C_{12}=-\begin{vmatrix} -1\; & 0\\ 1\; &2 \end{vmatrix}=2\\ C_{13}=\begin{vmatrix} -1\; & 3\\ 1\; &0 \end{vmatrix}=-3\\ C_{21}=-\begin{vmatrix} 0\; & 0\\ 0\; &2 \end{vmatrix}=0\\ C_{22}=\begin{vmatrix} 1\; & 1\\ 1\; &2 \end{vmatrix}=1\\ C_{23}=-\begin{vmatrix} 1\; & 0\\ 1\; &0 \end{vmatrix}=0\\ \end{array}$
$\begin{array} {lcl} C_{31}=\begin{vmatrix} 0\; & 1\\ 3\; &0 \end{vmatrix}=-3\\ C_{32}=-\begin{vmatrix} 1\; & 1\\ -1\; &0 \end{vmatrix}=-1\\ C_{33}=\begin{vmatrix} 1\; & 0\\ -1\; &3 \end{vmatrix}=3\\ \end{array}$
  $\begin{array} {lcl} Adj\: A=\begin{pmatrix} C_{11}\; & C_{21}\; &C_{31} \\ C_{12}\; &C_{22} \; &C_{32} \\ C_{13}\; &C_{23} \; &C_{33} \end{pmatrix}\\\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} 6\; & 0\; &-3 \\ 2\; &1 \; &-1 \\ -3\; &0 \; &3 \end{pmatrix}\\\\ A^{-1}=\frac{1}{detA}\, adjA\\ \; \; \; \; \; \; \; =\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 6\; & 0\; &-3 \\ 2\; &1 \; &-1 \\ -3\; &0 \; &3 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
$\begin{array} {lcl} \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} 2\; & 0\; &-1 \\ \frac{2}{3}\; &\frac{1}{3} \; &-\frac{1}{3} \\ -1\; &0 \; &1 \end{pmatrix}\\ \end{array}$

Rabu, 20 September 2017

Soal dan Pembahasan Matriks-2

zulnining September 20, 2017 0 Comments

5. SPMB 2003 Regional III
Diketahui matriks $\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} a\; & b\\ c\; & d\\ e\; & f \end{pmatrix},\; Q=\begin{pmatrix} u\; &v \\ w\; & z \end{pmatrix} \end {array}$, $P^{T}$ transpos dari $P$. Operasi yang dapat
    dilakukan pada $P$ dan $Q$ = ....
$\begin{array} {lcl} A.\; P+Q\; dan\; PQ\\ B.\; P^{T}Q\; dan\; QP\\ C.\; PQ\; dan\; Q^{-1}P\\ D.\; PQ\; dan \; QP\\ E.\; PQ\; dan\; QP^{T} \end {array}$

Pembahasan:
* Operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks syaratnya ordo kedua
   matriks itu sama
* Operasi perkalian pada matriks banyak kolom dari matriks pertama harus
   sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua
$\begin{array} {lcl} A_{m\, x\, n}\cdot B_{n\, x\, p}=AB_{m\, x\, p} \end {array}$

$\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} a\; & b\\ c\; &d \\ e\; & f \end{pmatrix}\\ P_{3\, x\, 2}\\ P^{T}= \begin{pmatrix} a\; & c\; &e \\ b\; & d\; & f \end{pmatrix}\\ P^{T}_{2\, x\, 3}\\ Q=\begin{pmatrix} u\; & v\\ w\; & z \end{pmatrix}\\ Q_{2\, x\, 2} \end{array}$

$\begin{array} {lcl} P_{3\, x\, 2}\cdot Q_{2\, x\, 2} \end{array}$, (benar karena banyak kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua)
$\begin{array} {lcl} Q_{3\, x\, 2}\cdot P^{T}_{2\, x\, 3} \end{array}$, (benar karena banyaknya kolom pada baris pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua)

Jawaban _______________________________ (E)

6. SPMB 2004 Regional II
   Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika $\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; & 3\\ 5\; & 7 \end{pmatrix} \end{array}$ maka matriks $\begin{array} {lcl} \left ( P^{T} \right )^{-1} \end{array}$ adalah ....
   $\begin{array} {lcl} A.\; \begin{pmatrix} -7\; & 3\\ 5\; & -2 \end{pmatrix}\\ B.\; \begin{pmatrix} 5\; & -2\\ -7\; & 3 \end{pmatrix}\\ C.\; \begin{pmatrix} -7\; & 5\\ 3\; & -2 \end{pmatrix}\\ D.\; \begin{pmatrix} -5\; & 7\\ 2\; & -3 \end{pmatrix}\\ E.\; \begin{pmatrix} 2\; & -5\\ -3\; & 7 \end{pmatrix}\\ \end{array}$

Pembahasan:
$\begin{array} {lcl} P= \begin{pmatrix} 2\; & 3\\ 5\; & 7 \end{pmatrix}\\ P^{T}= \begin{pmatrix} 2\; & 5\\ 3\; & 7 \end{pmatrix}\\ \left ( P^{T} \right )^{-1}=\frac{1}{\left ( 2 \right )\left ( 7 \right )-\left ( 5 \right )\left ( 3 \right )}\begin{pmatrix} 7\; &-5 \\ -3& 2 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =-1\begin{pmatrix} 7\; & -5\\ -3\; & 2 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} -7\; & 5\\ 3\; &-2 \end{pmatrix} \end{array}$

Jawaban _______________________________ (C)

7. SPMB 2004 Regional III
Jika $\begin{array} {lcl} A= \begin{pmatrix} 1\; & 2\\ 3\; & 5 \end{pmatrix}\\ \end{array}$ dan $\begin{array} {lcl} A^{-1}B= \begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$, maka matriks B adalah ....
   $\begin{array} {lcl} A.\; \begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 0\; & 3 \end{pmatrix}\\ B.\; \begin{pmatrix} 1\; & -4\\ 3\; & 0 \end{pmatrix}\\ C.\; \begin{pmatrix} 2\; & 1\\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\\ D.\; \begin{pmatrix} 2\; & 0\\ 3\; & -4 \end{pmatrix}\\ E.\; \begin{pmatrix} 1\; & 2\\ 0\; & 3 \end{pmatrix}\\ \end{array}$

Pembahasan:

$\begin{array} {lcl} A^{-1}B= \begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; B=\left ( A^{-1} \right )^{-1}\begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =A\begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} 1\; & 2\\ 3\; & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} \left (1 \right )\left ( -2 \right )+\left ( 2 \right )\left ( 2 \right )\; & \left (1 \right )\left ( 1 \right )+\left ( 2 \right )\left ( 0 \right )\\ \left (3 \right )\left ( -2 \right )+\left ( 5 \right )\left ( 2 \right )\; & \left (3 \right )\left ( 1 \right )+\left ( 5 \right )\left ( 0 \right ) \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} 2\; & 1\\ 4\; & 3 \end{pmatrix} \end{array}$

Jawaban _______________________________ (C)

M@th

Jumat, 08 Mei 2020

BANK SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET

Senin, 04 Mei 2020

BANK SOAL MATRIKS

Senin, 20 April 2020

Ujian Tulis UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Minggu, 24 September 2017

Simak UI 2011 Kode 211 Materi Eksponen

SNMPTN 2010 Kode 336 Materi Eksponen

SPMB 2006 Materi Eksponen

Jumat, 22 September 2017

Soal dan Pembahasan Eksponen

Kamis, 21 September 2017

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matriks (Bagian 1)

Matriks-3 (Determinan & Invers Matriks berordo 3 x 3)

Rabu, 20 September 2017

Soal dan Pembahasan Matriks-2

Popular

Follow Us

Formulir Kontak

Arsip Blog

Tautan

Mengenai Saya