BANK SOAL MATRIKS

1. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 527

Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2 \; & 3\\ -2\;&4 \end{pmatrix} \end {array}$, dan $I$ adalah matriks identitas. 
   Jika $A+tB-2I$ adalah matriks singular, selisih nilai-nilai $t$ yang mungkin adalah ....
   A. $\frac{2}{7}$
   B. $\frac{15}{14}$
   C. $\frac{3}{7}$
   D. $\frac{9}{14}$
   E. $\frac{5}{7}$

   Konsep Dasar:
   Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
   maka $det(A)=|A|=a.d-b.c$
   Matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers dan $det=0$
   Matriks identitas: $\begin {array}{lcl} I=\begin{pmatrix} 1 \; &0 \\ 0\; &1 \end{pmatrix} \end {array}$

   Pembahasan:
   $\begin {array}{lcl} A+tB-2I=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}2 \; & 3\\ -2\;&4 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\;&0\\0\;&1\end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2t \; & 3t\\ -2t\;&4t \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\;&0\\0\;&2\end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} -+2t\; &-1+3t \\ 1-2t\; &4t \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} det(A+tB-2I)=\begin{vmatrix} -1+2t \; &-1+3t \\ 1-2t\; &4t \end{vmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( -1+2t \right )\left ( 4t \right )-\left ( -1+3t \right )\left ( 1-2t \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}-\left ( -1+2t+3t-6t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}-\left ( -1+5t-6t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}+1-5t+6t^{2} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=14^{2}-9t+1 \end {array}$

   Karena $A+tB-2I$ adalah matriks singular, maka 
   $det(A+tB-2I)=0$
   $\;\;\;\;\;\;\,14t^{2}-9t+1=0$
    $\;\,\left ( 7t-1 \right )\left ( 2t-1 \right )=0$
   $\;\;\;t=\frac{1}{7}\: \vee \; t=\frac{1}{2}$
  Selisih dari nilai-nilai $t$ yang mungkin adalah
  $=\frac{1}{2}-\frac{1}{7}$
  $=\frac{5}{14}$

  ___________________________ (B)

2. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 540

  Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix}1 \; &1 \\ -3\; &2 \end{pmatrix}\end {array}$ dan $\begin {array}{lcl} B=\begin{pmatrix}-1 \; &1 \\ -2\; &1\end{pmatrix}\end {array}$, jumlah kuadrat semua nilat yang memenuhi 
  $det\left ( A+2tB \right )^{-1}=\frac{1}{10}$ adalah ....

  A. $\frac{9}{2}$
 B. $5$
 C. $6$
 D. $\frac{13}{2}$
 E. $\frac{17}{2}$

 Konsep Dasar:
 Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
 maka $det(A)=|A|=a.d-b.c$
 Sifat determinan matriks:
 $det \left ( A^{-1} \right )=det\left ( A \right )^{-1}=\frac{1}{det\left ( A \right )}$
 Misal Persamaan Kuadrat (PK): $ax^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$
 maka $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$
      $\;\;\;\;\;x_{1}.\,  x_{2}=\frac{c}{a}$
 Jumlah kuadrat akar-akar Persamaan Kuadrat (PK):

 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2}-2\, x_{1}x_{2}$

 Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} A+2tB=\begin{pmatrix} 1 \; &1 \\ -3\; &2 \end{pmatrix}+2t \begin{pmatrix}-1 \; & 1\\ -2\;&1 \end{pmatrix} \end {array}$ 
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} 1 \; &1 \\ -3\; &2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-2t \; & 2t\\ -4t\;&2t \end{pmatrix}\end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} 1-2t \; &1+2t \\ -3-4t\; &2+2t \end{pmatrix}\end {array}$
 $\begin {array}{lcl} det(A+2tB)=\begin{vmatrix} 1-2t \; &1+2t \\ -3-4t\; &2+2t \end{vmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( 1-2t \right )\left ( 2+2t \right )-\left ( 1+2t \right )\left ( -3-4t \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( 2+2t-4t-4t^{2} \right )-\left ( -3-4t-6t-8t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( 2-2t-4t^{2} \right )-\left ( -3-10t-8t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2-2t-4t^{2}+3+10+8t{2} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=4t^{2}+8t+5 \end {array}$

$det\left ( A+2tB \right )^{-1}=\frac{1}{10}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{det\left ( A+2tB \right )}=\frac{1}{10}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{4t^{2}+8t+5}=\frac{1}{10}$
$\;\;\;\;\;4t^{2}+8t+5=10$
$\;\;\;\;\;4t^{2}+8t-5=0$

 Jumlah kuadrat semua nilai $t$ adalah:
 $t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=\left ( t_{1}+t_{2} \right )^{2}-2\, t_{1}t_{2}$
 $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( -\frac{8}{2} \right )^{2}-2\left ( -\frac{5}{4} \right )$
 $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=4+\frac{5}{2}$
 $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{13}{2}$

 ___________________________ (D)


3. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 524
    Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} x\; &3 \\ 1\; &1 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}4 \; & 2\\ 3\;&2 \end{pmatrix} \end {array}$ dan $\begin {array}{lcl} C=\begin{pmatrix} x-6\; &-3 \\ 2\; &x-1 \end{pmatrix}\end {array}$. Jika $det\left ( A^{-1}BC \right )=6$.
  Nilai $x-7$ adalah ....
  A. $0$
  B. $1$
  C. $3$
  D. $4$
  E. $7$

  Konsep Dasar:

  Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
  maka $det(A)=|A|=a.d-b.c$
  Sifat determinan matriks:
  $det \left ( A^{-1} \right )=det\left ( A \right )^{-1}=\frac{1}{det\left ( A \right )}$
  $det\left ( AB \right )=det\left ( A \right ).\, det\left ( B \right )$ 

  Pembahasan:
  $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} x\; &3 \\ 1\; &1 \end{pmatrix} \end {array}$, maka $det\left ( A \right )=\begin{vmatrix}x &3 \\1  & 1\end{vmatrix}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x.1-3.1$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x-3$ 
 $\begin {array}{lcl} B=\begin{pmatrix} 4\; &2 \\ 3\; &2\end{pmatrix} \end {array}$, maka $det\left ( B \right )=\begin{vmatrix}4 &2 \\2  & 2\end{vmatrix}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=4.2-2.3$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2$
$\begin {array}{lcl} C=\begin{pmatrix} x-6\; &-3 \\ 2\; &x-1\end{pmatrix} \end {array}$, maka $det\left ( C \right )=\begin{vmatrix}x-6 &-3 \\2  & x-1\end{vmatrix}$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( x-6 \right )\left ( x-1 \right )-\left ( -3 \right ).\, 2$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^{2}-x-6x+6+6$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^{2}-7x+12$

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;det\left ( A^{-1}BC \right )=6$
$\;det\left ( A^{-1} \right ).\,det\left ( B \right ).\, \left ( C \right )=6$
$\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{det\left ( A\right )}\, .\, det\left ( B \right ).\, \left ( C \right )=6$
$\frac{1}{\left (\;\;x-3  \right )}\, .2.\, \left ( x^{2}-7x+12 \right )=6$
$\;\;\;\;\frac{1}{\left (x-3  \right )}\, . \, \left ( x^{2}-7x+12 \right )=3$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}-7x+12=3\left ( x-3 \right )$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}-7x+12=3x-9$
$\;\;\;\;x^{2}-7x-3x+12+9=0$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2}-10x+21=0$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( x-7 \right )\left (x-3 \right )=0$

 Nilai $x-7=0$

 ___________________________ (A)

 4. SIMAK UI 2018 MATEMATIKA DASAR KODE 641

    Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; &-3 \\ 1\; &d \end{pmatrix}\end {array}$. Jika $A=A^{-1}$, nilai $|a-d|$ = ....
  A. $0$
  B. $1$
  C. $2$
  D. $3$
  E. $4$

  Konsep Dasar:

  Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
  maka invers matriks $A$: $A^{-1}=\frac{1}{a.b-b.c}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c& a\end{pmatrix}$

  Kesamaan dua matriks: unsur seletak nilainya sama

  $\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

  $\left ( a+b \right )^{2}=\left ( a-b \right )^{2}+4ab$
  Sifat nilai mutlak:
  $\left | x \right |=\sqrt{x^{2}}$
  
  Pembahasan:

   $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A=A^{-1}$
  $\begin {array}{lcl}\begin{pmatrix}a &-3 \\1& d\end{pmatrix}=\frac{1}{ad+3}\begin{pmatrix}d & 3\\  -1& a\end{pmatrix} \end {array}$

   $\begin {array}{lcl}\begin{pmatrix}a &-3 \\1& d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{d}{ad+3} &\frac{3}{ad+3} \\  \frac{-1}{ad+3}& \frac{a}{ad+3}\end{pmatrix} \end {array}$

  Dari kesamaan matriks tersebut, diperoleh:

  $\;\;\;\;\;\;\;\;1=\frac{-1}{ad+3}$

  $ad+3=-1$

  $\;\;\;\;\;\;ad=-4$

  $a=\frac{d}{ad+3}$

  $a=\frac{d}{-4+3}$

  $a=-d$, sehingga

  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a+d=0$ (kedua ruas dipangkatkan dua)

  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a+d \right )^{2}=0$

  $\left ( a-d \right )^{2}+4ad=0$

  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a-d \right )^{2}=-4ad$

  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a-d \right )^{2}=-4\left ( -4 \right )$

  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left ( a-d \right )^{2}=16$

  $\;\;\;\;\;\;\sqrt{\left ( a-d \right )^{2}}=\sqrt{16}$

  $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left | a-d \right |=4$

 ___________________________ (E)