Kumpulan Soal dan Pembahasan Eksponen

1. SBMPTN 2016 TKPA Matematika Dasar Kode 350
    Jika $A^{2x}=2$, maka $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}$=
    ....
    (A) $\frac{31}{18}$ 
    (B) $\frac{31}{9}$ 
    (C) $\frac{32}{18}$ 
    (D) $\frac{33}{9}$ 
    (E) $\frac{33}{18}$ 

    Pembahasan: 
    $A^{2x}=2$
   
      kedua ruas kalikan dengan $A^{5x}$
        $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}$
    =  $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}\; \cdot \: \frac{A^{5x}}{A^{5x}}$ 
    = $\frac{A^{10x}-A^{0}}{A^{8x}+A^{2x}}$ 
    =  $\frac{\left (A^{2x} \right )^{5}-A^{0}}{\left (A^{2x} \right )^{4}+A^{2x}}$ 
    = $\frac{2^{5}-1}{2^{4}+2}$ 
    = $\frac{32-1}{16+2}$ 
    =  $\frac{31}{18}$ 

    Jawaban _________________________ (A) 


2. UM UGM 2016 Kode 371
    Jika $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ dapat dinyatakan sebagai 
    $\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{30}}{12}$, maka $a+b+c$= ....
    (A) 0
    (B) 1
    (C) 2
    (D) 3
    (E) 4

    Pembahasan:  
    $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\left (\sqrt{2}+\sqrt{3} \right )+\sqrt{5}}\; \cdot \;\frac{\left ( \sqrt{2} +\sqrt{3}\right )-\sqrt{5}}{\left (\sqrt{2}+\sqrt{3} \right )-\sqrt{5}}$  
                     = $\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left (\sqrt{2}+\sqrt{3} \right )^{2}-\left (\sqrt{5} \right )^{2}}$ 
                     = $\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left (\sqrt{2}\right )^{2}+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}-5}$  
                     = $\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2 \sqrt{6}+3-5}$
                     = $\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{6}}$ 
                     = $\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{6}}\; \cdot \; \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 
                     = $\frac{\sqrt{2}\: .\: \sqrt{6} +\sqrt{3}\: .\: \sqrt{6}-\sqrt{5}\: \cdot\: \sqrt{6}}{2 \left (\sqrt{6} \right )^{2}}$ 
                     = $\frac{\sqrt{12} +\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2 \: \cdot \: 6}$  
                     = $\frac{\sqrt{4}\: \cdot \: \sqrt{3} +\sqrt{9}\: \cdot \: \sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$ 
                     = $\frac{2\sqrt{3} +3 \sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$  
                     = $\frac{3\sqrt{2} +2 \sqrt{3}-\sqrt{30}}{12}$ 

   $\frac{3\sqrt{2} +2 \sqrt{3}-\sqrt{30}}{12}=\frac{a\sqrt{2} +b \sqrt{3}+c\sqrt{30}}{12}$ 
   Jadi $a=3$, $b=2$, $c=-1$, maka
   $a+b+c = 3+2-1$
                  $= 4$ 

   Jawaban _________________________ (E) 


3. UM UGM 2016 Kode 371
    Jika  $a^{x}=b^{y}=c^{z}$ dan $b^{2}=ac$ maka $x$ = ....
    (A)  $\frac{2yz}{y+z}$ 
    (B)  $\frac{2yz}{2z-y}$ 
    (C)  $\frac{2yz}{2y-z}$ 
    (D)  $\frac{yz}{2y-z}$ 
    (E)  $\frac{yz}{2z-y}$ 

    Pembahasan:
    Misalkan $a^{x}=b^{y}=c^{z}=m$ 
    maka  $a^{x}=m$ 
               $a=m^{\frac{1}{x}}$ 
             $b^{y}=m$ 
               $b=m^{\frac{1}{y}}$ 
             $c^{z}=m$
               $c=m^{\frac{1}{z}}$ 

    $b^{2}=ac$ 
    $\left ( m^{\frac{1}{y}} \right )^{2}=m^{\frac{1}{x}}\: \cdot \: m^{\frac{1}{z}}$ 
          $m^{\frac{2}{y}}=m^{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}$ 
   $\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}$ 
   $\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$ 
   $\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}\\ \frac{2z-y}{yz}=\frac{1}{x}$ 
    $\frac{yz}{2z-y}=x$ 

   Jawaban _________________________ (E)