Soal dan Pembahasan Matriks-2

5. SPMB 2003 Regional III
  Diketahui matriks  $\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} a\; & b\\ c\; & d\\ e\; & f \end{pmatrix},\; Q=\begin{pmatrix} u\; &v \\ w\; & z \end{pmatrix} \end {array}$, $P^{T}$ transpos dari $P$. Operasi yang dapat 
    dilakukan pada $P$ dan $Q$ = ....
    $\begin{array} {lcl} A.\; P+Q\; dan\; PQ\\ B.\; P^{T}Q\; dan\; QP\\ C.\; PQ\; dan\; Q^{-1}P\\ D.\; PQ\; dan \; QP\\ E.\; PQ\; dan\; QP^{T} \end {array}$ 

Pembahasan:
* Operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks syaratnya ordo kedua
   matriks itu sama
* Operasi perkalian pada matriks banyak kolom dari matriks pertama harus 
   sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua
    $\begin{array} {lcl} A_{m\, x\, n}\cdot B_{n\, x\, p}=AB_{m\, x\, p} \end {array}$ 

$\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} a\; & b\\ c\; &d \\ e\; & f \end{pmatrix}\\ P_{3\, x\, 2}\\ P^{T}= \begin{pmatrix} a\; & c\; &e \\ b\; & d\; & f \end{pmatrix}\\ P^{T}_{2\, x\, 3}\\ Q=\begin{pmatrix} u\; & v\\ w\; & z \end{pmatrix}\\ Q_{2\, x\, 2} \end{array}$ 

$\begin{array} {lcl} P_{3\, x\, 2}\cdot Q_{2\, x\, 2} \end{array}$, (benar karena banyak kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua)
$\begin{array} {lcl} Q_{3\, x\, 2}\cdot P^{T}_{2\, x\, 3} \end{array}$, (benar karena banyaknya kolom pada baris pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua) 

Jawaban _______________________________ (E) 


6. SPMB 2004 Regional II
   Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika $\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; & 3\\ 5\; & 7 \end{pmatrix} \end{array}$ maka matriks $\begin{array} {lcl} \left ( P^{T} \right )^{-1} \end{array}$ adalah ....
   $\begin{array} {lcl} A.\; \begin{pmatrix} -7\; & 3\\ 5\; & -2 \end{pmatrix}\\ B.\; \begin{pmatrix} 5\; & -2\\ -7\; & 3 \end{pmatrix}\\ C.\; \begin{pmatrix} -7\; & 5\\ 3\; & -2 \end{pmatrix}\\ D.\; \begin{pmatrix} -5\; & 7\\ 2\; & -3 \end{pmatrix}\\ E.\; \begin{pmatrix} 2\; & -5\\ -3\; & 7 \end{pmatrix}\\ \end{array}$ 

Pembahasan:
$\begin{array} {lcl} P= \begin{pmatrix} 2\; & 3\\ 5\; & 7 \end{pmatrix}\\ P^{T}= \begin{pmatrix} 2\; & 5\\ 3\; & 7 \end{pmatrix}\\ \left ( P^{T} \right )^{-1}=\frac{1}{\left ( 2 \right )\left ( 7 \right )-\left ( 5 \right )\left ( 3 \right )}\begin{pmatrix} 7\; &-5 \\ -3& 2 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =-1\begin{pmatrix} 7\; & -5\\ -3\; & 2 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} -7\; & 5\\ 3\; &-2 \end{pmatrix} \end{array}$ 

Jawaban _______________________________ (C)  


7. SPMB 2004 Regional III
  Jika $\begin{array} {lcl} A= \begin{pmatrix} 1\; & 2\\ 3\; & 5 \end{pmatrix}\\ \end{array}$ dan $\begin{array} {lcl} A^{-1}B= \begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \end{array}$, maka matriks B adalah ....
   $\begin{array} {lcl} A.\; \begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 0\; & 3 \end{pmatrix}\\ B.\; \begin{pmatrix} 1\; & -4\\ 3\; & 0 \end{pmatrix}\\ C.\; \begin{pmatrix} 2\; & 1\\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\\ D.\; \begin{pmatrix} 2\; & 0\\ 3\; & -4 \end{pmatrix}\\ E.\; \begin{pmatrix} 1\; & 2\\ 0\; & 3 \end{pmatrix}\\ \end{array}$ 

Pembahasan:

$\begin{array} {lcl} A^{-1}B= \begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; B=\left ( A^{-1} \right )^{-1}\begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =A\begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} 1\; & 2\\ 3\; & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\; & 1\\ 2\; & 0 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} \left (1 \right )\left ( -2 \right )+\left ( 2 \right )\left ( 2 \right )\; & \left (1 \right )\left ( 1 \right )+\left ( 2 \right )\left ( 0 \right )\\ \left (3 \right )\left ( -2 \right )+\left ( 5 \right )\left ( 2 \right )\; & \left (3 \right )\left ( 1 \right )+\left ( 5 \right )\left ( 0 \right ) \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} 2\; & 1\\ 4\; & 3 \end{pmatrix} \end{array}$

Jawaban _______________________________ (C)