1. SPMB 2004 Regional III
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2 \; &1 \\ -2\; &3 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} a\\ 1 \end{pmatrix} \end {array}$, dan $\begin {array}{lcl} C=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix} \end {array}$ memenuhi $AB=C$, maka $|a-b|$
= ....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; AB=C\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} 2 \; &1 \\ -2 \; &3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \left ( 2 \right )\left ( a \right )+\left ( 1 \right )\left ( 1 \right )\\ \left ( -2 \right )\left ( a \right ) +\left ( 3 \right )\left ( 1 \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} 2a+1\\ -2a+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\\\ 2a+1=11\\ \; \; \; \; \; \; 2a=10\\ \; \; \; \; \; \; \; \; a=5 \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; \; -2a+3=1-4b\\ -2\left ( 5 \right )+3=1-4b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -7=1-4b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=2\\\\ |a-b|=|5-2|\\ \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \: =3 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (B)
2. SPMB 2004 Regional III
Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 3\; &7 \\ 1\: &2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 4\; &1 \end{pmatrix},\; dan\; C=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \end {array}$
memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y$ = ....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 3\; &7 \\ 1\: &2 \end{pmatrix}\\ A^{-1}=\frac{1}{\left ( 3 \right )\left ( 2 \right )-\left ( 7 \right )\left ( 1 \right )}\begin{pmatrix} 2\; &-7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =-\begin{pmatrix} 2\; &-7 \\ -1\; &3 \end{pmatrix} \\ \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} -2\; &7 \\ 1\; &-3 \end{pmatrix}\\\\ \; \; B=\begin{pmatrix} 4\; &1 \end{pmatrix}\\ B^{T}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; A^{-1}B^{T}=C\\ \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} -2\; &7 \\ 1\; &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \left (-2 \right )\left ( 4 \right )+\left ( 7 \right )\left ( 1 \right )\\ \left (1 \right )\left ( 4 \right )+\left ( -3 \right )\left ( 1 \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\\\ x=-1\\ y=1\\\\ x+y=\left ( -1 \right )+1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; =0 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (C)
3. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2x+1\; &3 \\ 6x-1\; & 5 \end{pmatrix} \end {array}$ tidak mempunyai invers, maka nilai $x$ adalah ....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
Matriks $A$ tidak mempunyai invers, maka $detA=0$
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \begin{vmatrix} 2x+1\; &3 \\ 6x-1\; & 5 \end{vmatrix}=0\\ \left ( 2x+1 \right )\left ( 5 \right )-\left ( 3 \right )\left ( 6x-1 \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 10x+5-18x+3=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -8x+8=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -8x=-8\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: x=1 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (B)
4. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; &1-a \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\; dan\; A^{-1}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix} \end {array}$ maka nilai $b$ adalah ....
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
E. 1
Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \: A=\begin{pmatrix} a\; &1-a \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\ A^{-1}=\frac{1}{\left ( a \right )\left ( 1 \right )-\left ( 1-a \right )\left ( 0 \right )} \begin{pmatrix} 1\; &-1+a \\ 0\; & a \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\frac{1}{a} \begin{pmatrix} 1\; &-1+a \\ 0\; & a \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} \frac{1}{a}\; &\frac{-1+a}{a} \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\\\ A^{-1}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \begin{pmatrix} \frac{1}{a}\; &\frac{-1+a}{a} \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\\\ \frac{1}{a}=2\\\\ \; \; \; \: \frac{-1+a}{a}=b\\ -\frac{1}{a}+1=b\\ -2+1=b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-1 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (A)
5. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{pmatrix} \end {array}$ tidak mempunyai invers, maka nilai $a$ adalah ....
A. -2 atau 2
B. $-\sqrt{2}$ atau $\sqrt{2}$
C. -1 atau 1
D. 2
E. $2\sqrt{2}$
Pembahasan:
Matriks A tidak mempunyai invers, maka
$\begin {array}{lcl} detA=0\\ \begin{vmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{vmatrix}=0\\\\ \begin{vmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{vmatrix}\begin{matrix} a\; &2 \\ 1\; &a \\ a\; &2 \end{matrix}=0\\ \left ( a \right )\left ( a \right )\left ( 5 \right )+\left ( 2 \right )\left ( 4 \right )\left ( a \right )+\left ( 3 \right )\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )-\left ( a \right )\left ( a \right )\left ( 3 \right )-\left ( 2 \right )\left ( 4 \right )\left ( a \right )-\left ( 5 \right )\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )=0\\ 5a^{2}+8a+6-3a^{2}-8a-10=0\\ 2a^{2}-4=0\\ \; \; a^{2}-2=0 \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; a^{2}-2=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; a^{2}=2\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: a=\pm \sqrt{2}\\\\ a=-\sqrt{2}\; atau \; a=\sqrt{2} \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (B)
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2 \; &1 \\ -2\; &3 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} a\\ 1 \end{pmatrix} \end {array}$, dan $\begin {array}{lcl} C=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix} \end {array}$ memenuhi $AB=C$, maka $|a-b|$
= ....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; AB=C\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} 2 \; &1 \\ -2 \; &3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \left ( 2 \right )\left ( a \right )+\left ( 1 \right )\left ( 1 \right )\\ \left ( -2 \right )\left ( a \right ) +\left ( 3 \right )\left ( 1 \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} 2a+1\\ -2a+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\\ 1-4b \end{pmatrix}\\\\ 2a+1=11\\ \; \; \; \; \; \; 2a=10\\ \; \; \; \; \; \; \; \; a=5 \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; \; -2a+3=1-4b\\ -2\left ( 5 \right )+3=1-4b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -7=1-4b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=2\\\\ |a-b|=|5-2|\\ \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \: =3 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (B)
2. SPMB 2004 Regional III
Transpos dari matriks $P$ adalah $P^{T}$. Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 3\; &7 \\ 1\: &2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 4\; &1 \end{pmatrix},\; dan\; C=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \end {array}$
memenuhi $A^{-1}B^{T}=C$, maka $x+y$ = ....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 3\; &7 \\ 1\: &2 \end{pmatrix}\\ A^{-1}=\frac{1}{\left ( 3 \right )\left ( 2 \right )-\left ( 7 \right )\left ( 1 \right )}\begin{pmatrix} 2\; &-7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =-\begin{pmatrix} 2\; &-7 \\ -1\; &3 \end{pmatrix} \\ \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} -2\; &7 \\ 1\; &-3 \end{pmatrix}\\\\ \; \; B=\begin{pmatrix} 4\; &1 \end{pmatrix}\\ B^{T}=\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; A^{-1}B^{T}=C\\ \; \; \; \; \; \begin{pmatrix} -2\; &7 \\ 1\; &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \left (-2 \right )\left ( 4 \right )+\left ( 7 \right )\left ( 1 \right )\\ \left (1 \right )\left ( 4 \right )+\left ( -3 \right )\left ( 1 \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}\\\\ x=-1\\ y=1\\\\ x+y=\left ( -1 \right )+1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; =0 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (C)
3. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2x+1\; &3 \\ 6x-1\; & 5 \end{pmatrix} \end {array}$ tidak mempunyai invers, maka nilai $x$ adalah ....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
Matriks $A$ tidak mempunyai invers, maka $detA=0$
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: \begin{vmatrix} 2x+1\; &3 \\ 6x-1\; & 5 \end{vmatrix}=0\\ \left ( 2x+1 \right )\left ( 5 \right )-\left ( 3 \right )\left ( 6x-1 \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 10x+5-18x+3=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -8x+8=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -8x=-8\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: x=1 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (B)
4. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; &1-a \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\; dan\; A^{-1}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix} \end {array}$ maka nilai $b$ adalah ....
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
E. 1
Pembahasan:
$\begin {array}{lcl} \; \; \; \: A=\begin{pmatrix} a\; &1-a \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\ A^{-1}=\frac{1}{\left ( a \right )\left ( 1 \right )-\left ( 1-a \right )\left ( 0 \right )} \begin{pmatrix} 1\; &-1+a \\ 0\; & a \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\frac{1}{a} \begin{pmatrix} 1\; &-1+a \\ 0\; & a \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} \frac{1}{a}\; &\frac{-1+a}{a} \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\\\ A^{-1}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \begin{pmatrix} \frac{1}{a}\; &\frac{-1+a}{a} \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\; &b \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\\\ \frac{1}{a}=2\\\\ \; \; \; \: \frac{-1+a}{a}=b\\ -\frac{1}{a}+1=b\\ -2+1=b\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-1 \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (A)
5. SPMB 2004 Regional I
Jika matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{pmatrix} \end {array}$ tidak mempunyai invers, maka nilai $a$ adalah ....
A. -2 atau 2
B. $-\sqrt{2}$ atau $\sqrt{2}$
C. -1 atau 1
D. 2
E. $2\sqrt{2}$
Pembahasan:
Matriks A tidak mempunyai invers, maka
$\begin {array}{lcl} detA=0\\ \begin{vmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{vmatrix}=0\\\\ \begin{vmatrix} a\; & 2\; &3 \\ 1\; & a\; &4\\ a\; & 2\; &5 \end{vmatrix}\begin{matrix} a\; &2 \\ 1\; &a \\ a\; &2 \end{matrix}=0\\ \left ( a \right )\left ( a \right )\left ( 5 \right )+\left ( 2 \right )\left ( 4 \right )\left ( a \right )+\left ( 3 \right )\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )-\left ( a \right )\left ( a \right )\left ( 3 \right )-\left ( 2 \right )\left ( 4 \right )\left ( a \right )-\left ( 5 \right )\left ( 1 \right )\left ( 2 \right )=0\\ 5a^{2}+8a+6-3a^{2}-8a-10=0\\ 2a^{2}-4=0\\ \; \; a^{2}-2=0 \end {array}$
$\begin {array}{lcl} \; \; a^{2}-2=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; a^{2}=2\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: a=\pm \sqrt{2}\\\\ a=-\sqrt{2}\; atau \; a=\sqrt{2} \end {array}$
Jawaban ___________________________________ (B)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar