M@th

Rabu, 20 September 2017

Soal dan Pembahasan Matematika STIS 2017 No. 35-41

zulnining September 20, 2017 0 Comments

Berbagi M@th - Silahkan didownload soal dan pembahasan matematika STIS 2017 No. 35-41. Materi yang diujikan integral, limit, dan logika. Didalam soal dan pembahasan matematika STIS 2017 sudah ada KonseR (Konsep dasaR), semoga bermanfaat bagi yang membutuhkan dan dapat menambah atau memperkaya soal-soal yang sering diujikan untuk masuk perguruan tinggi negeri atau kedinasan.

Klik ----->Soal dan Pembahasan Matematika STIS 2017 No. 35-41

Selasa, 19 September 2017

Soal dan Pembahasan Matriks-2

zulnining September 19, 2017 0 Comments

3. UM UGM 2015 Kode 622
Diberikan matriks $\begin{array}{lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\; dan \; Q=\begin{pmatrix} 2r\; & 1\\ r\; & p+1 \end{pmatrix} \end{array}$ dengan $\begin{array}{lcl} r\neq 0 \end{array}$ dan $\begin{array}{lcl} p\neq 0 \end{array}$. Matriks
    $PQ$ tidak mempunyai invers apabila nilai $p$ = ....
   $\begin{array}{lcl} A.\; -\frac{3}{2}\\ B.\; -\frac{1}{2}\\ C.\; -\frac{1}{4}\\ D.\; \frac{1}{2}\\ E.\; \frac{8}{7}\\ \end{array}$

Pembahasan:
Matriks $PQ$ tidak mempunyai invers maka $detPQ=0$
$\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\\ detP=\left ( 2 \right )\left ( 3 \right )-\left ( -1 \right )\left ( 4 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =6+4\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =10\\\\ Q=\begin{pmatrix} 2r\; &1 \\ r\; &p+1 \end{pmatrix}\\ detQ=\left ( 2r \right )\left ( p+1 \right )-\left ( 1 \right )\left ( r \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =2rp+2r-r\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =2rp+r\\ \; \;\; \; \; \; \; \; \, =r\left ( 2p+1 \right ) \end{array}$

$\begin{array} {lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: detPQ=0\\ \; \; \; \left ( detP \right )\left ( detQ \right )=0\\ \left ( 10 \right )\left ( r\left ( 2p+1 \right ) \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: r\left ( 2p+1 \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: 2p+1=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 2p=-1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: p=-\frac{1}{2} \end{array}$

Jawaban _______________________________ (B)

4. SBMPTN 2015 Kode 618
Jika $\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; &2a \\ a\; & 9 \end{pmatrix} \end{array}$ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua
nilai $a$ yang mungkin sehingga $\begin{array} {lcl} det\left ( A \right )=det\left ( A^{-1} \right ) \end{array}$ adalah ....
    A. 10
    B. 20
    C. 30
    D. 40
    E. 50

Pembahasan:

$\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; &2a \\ a\; & 9 \end{pmatrix}\\ detA=\left ( 1 \right )\left ( 9 \right )-\left ( 2a \right )\left ( a \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =9-2a^{2}\\\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; det\left ( A \right )=det\left ( A^{-1} \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; det\left ( A \right )=\frac{1}{det\left ( A \right )}\\ det\left ( A \right )det\left ( A \right )=1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( detA \right )^{2}=1 \end{array}$

$\begin{array} {lcl} \; \; \; \; \; \; \left ( 9-2a^{2} \right )^{2}=1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}= \pm 1\\\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}= 1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \; 2a^{2}= 8\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; a^{2}= 4\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; \; \, a= \pm 2\\\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}=- 1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \; 2a^{2}= 10\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; a^{2}= 5\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; \; \, a= \pm \sqrt{5} \end{array}$

Hasil kali semua nilai $a$ yang mungkin

$\begin{array} {lcl} =\left ( 2 \right )\left ( -2 \right )\left ( \sqrt{5} \right )\left (- \sqrt{5} \right )\\ =20 \end{array}$

Jawaban _______________________________ (B)

Soal dan Pembahasan Matriks-2

zulnining September 19, 2017 0 Comments

1. Simak UI 2009 Kode 941
Diketahui $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} x+2\; &3 \\ 3\; & 3 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 3\; &0 \\ 5\; & x+2 \end{pmatrix} \end{array}$, maka perkalian $x$ yang memenuhi
   $det(AB)=36$ adalah ....
   A. -8
   B. -7
   C. -6
   D. 2
   E. 6

Pembahasan:
$\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} x+2\; &3 \\ 3\; & 3 \end{pmatrix}\\ detA=\left ( x+2 \right )\left ( 3 \right )-\left ( 3 \right )\left ( 3 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =3x+6-9\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =3x-3\\\\ B=\begin{pmatrix} 3\; &0 \\ 5\; & x+2 \end{pmatrix}\\ detB=\left ( 3 \right )\left ( x+2 \right )-\left ( 0 \right )\left ( 5 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =3x+6 \end{array}$
$\begin{array}{lcl} det\left ( AB \right )=36\\ \left ( detA \right )\left ( detB \right )=36\\ \left ( 3x-3 \right )\left ( 3x+6 \right )=36\\ 9x^{2}+18x-9x-18-36=0\\ 9x^{2}+9x-54=0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (sama-sama\; dibagi\; 9)\\ x^{2}+x-6=0\\ \left ( x+3 \right )\left ( x-2 \right )=0\\ x=-3\; atau\;x=2 \end{array}$
Perkalian nilai
$\begin{array}{lcl} x&=&\left ( -3 \right ) \left ( 2 \right )\\ &=&-6 \end{array}$

Jawaban _______________________________ (C)

2. Simak UI 2010 Kode 208
Diketahui $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} -1\; &50 \\ -2\; & 105 \end{pmatrix} \end{array}$, maka $detA^{3}$ = ....
    A. -125
    B. -25
C. 5
D. 25
E. 125

Pembahasan:
$\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} -1\; &50 \\ -2\; & 105 \end{pmatrix}\\\\ detA=\left ( -1 \right )\left ( 105 \right )-\left ( 50 \right )\left ( -2 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =-105+100\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =-5\\\\ detA^{3}=\left ( detA \right )^{3}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\left ( -5 \right )^{3}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =-125 \end{array}$

Jawaban _______________________________ (A)

Matriks-2 (Determinan dan Invers Matriks Berordo 2)

zulnining September 19, 2017 0 Comments

# Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Determinan hanya dimiliki oleh matriks persegi, seperti matriks berordo 2x2, 3x3, dan sebagainya
Determinan matriks A dapat ditulis $det A$ atau $|A|$
Misalkan matriks

       $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; & b\\ c\; & d \end{pmatrix}\\ maka\; detA=|A|=\begin{vmatrix} a\; &b \\ c\; & d\\ \end{vmatrix}\\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =ad-bc \end{array}$
Contoh:
    Tentukan nilai determinan matriks-matriks
  $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 5\; & -2\\ 4\; & 8 \end{pmatrix}\\ \end{array}$ dan $\begin{array}{lcl} B=\begin{pmatrix} 7\; & 4\\ 6\; & -1 \end{pmatrix}\\ \end{array}$
Pembahasan:
  $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 5\; & -2\\ 4\; & 8 \end{pmatrix}\\ detA=\begin{vmatrix} 5\; & -2\\ 4\; & 8 \end{vmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =\left ( 5 \right )\left ( 8 \right )-\left ( -2 \right )\left ( 4 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =40+8\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =48 \end{array}$
$\begin{array}{lcl} B=\begin{pmatrix} 7\; & 4\\ 6\; & -1 \end{pmatrix}\\ detA=\begin{vmatrix} 7\; & 4\\ 6\; & -1 \end{vmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =\left ( 7 \right )\left ( -1 \right )-\left (4 \right )\left ( 6 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =-7-24\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =-31 \end{array}$

# Invers Matriks Persegi Berordo 2
   Jika matriks $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a\; & b\\ c\; & d \end{pmatrix}\\ \end{array}$, maka invers matriks A
   $\begin{array}{lcl} A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d \; &-b \\ -c\; & a \end{pmatrix}\\\\ \; \; \; \; \; \; \; =\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d\; & -b\\ -c\; &a \end{pmatrix} \end{array}$
   Contoh:
   Tentukan invers matriks $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 5 \; &3 \\ -7\; & -4 \end{pmatrix} \end{array}$
   Pembahasan:
   $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 5 \; &3 \\ -7\; & -4 \end{pmatrix}\\\\ |A|=\left ( 5 \right )\left ( -4 \right )-\left ( 3 \right )\left ( -7 \right )\\ \: \: \: \: \: \: \: =-20+21\\ \: \: \: \: \: \: \: =1\\ A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} -4\; & -3\\ 7\; & 5 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\frac{1}{1}\begin{pmatrix} -4\; &-3 \\ 7\; & 5 \end{pmatrix}\\ \; \; \; \; \; \; \; =\begin{pmatrix} -4\; &-3 \\ 7\; & 5 \end{pmatrix} \end{array}$

Matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular, $det=0$
Jika $\begin{array}{lcl} AB=I;\; I=\begin{pmatrix} 1\; &0 \\ 0\; & 1 \end{pmatrix} \end{array}$, maka $A$ dan $B$ dikatakan saling invers
$\begin{array}{lcl} AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B\\ XA=B\Rightarrow X=AB^{-1} \end{array}$
$\begin{array}{lcl} det\left ( AB \right )=\left ( detA \right )\left ( detB \right )\\ detA^{-1}=\frac{1}{detA}\\ detA^{T}=detA\\ detA^{n}=\left ( detA \right )^{n}\\ det\left ( kA^{n} \right )=k^{ordo\; matriks}\left ( detA \right )^{n} \end{array}$
Untuk soal dan pembahasan Klik ----> 1 2 3

Senin, 18 September 2017

Soal Tambahan Matriks-1

zulnining September 18, 2017 0 Comments

7. UM UGM 2017 Kode 723
Jika $a$ memenuhi $\begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\; &5 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 20\; &-1 \\ -2\; & a^{2}+5 \end{pmatrix}^{T}$ dengan $A^{T}$ menyatakan transpose
   matriks $A$, maka $a^{2}+a$ = ....
   A. 2
   B. 12
   C. 20
   D. 30
   E. 42

Pembahasan:

$\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a\; &5 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 20\; &-1 \\ -2\; & a^{2}+5 \end{pmatrix}^{T}\\\\ \begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a\; &5 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 20\; &-2 \\ -1\; & a^{2}+5 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a+20\; &3 \\ 0\; & a^{2}+5 \end{pmatrix} \end{array}$

$\begin{array}{lcl} a^{2}&=&a+20\\ 6a&=&a^{2}+5\\ 6a&=&a+20+5\\ 5a&=&25\\ a&=&5 \end{array}$
Maka
$\begin{array}{lcl} a^{2}+a&=&5^{2}+5\\ &=&25+5\\ &=&30 \end{array}$

Jawaban ________________________ (D)

8. SBMPTN 2014 Kode 663
Jika matriks $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2x\; &-2 \\ x\; & 3y+2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 9\; & 3x\\ 8 \; & -4 \end{pmatrix} \end{array}$ dan $\begin{array}{lcl} C=\begin{pmatrix} 5\; & 6\\ -8 \; & 7 \end{pmatrix} \end{array}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$    transpose matriks $C$, maka $2x+3y$ = ....
   A. 3
   B. 4
   C. 5
   D. 6
   E. 7

Pembahasan:
$\begin{array}{lcl} C=\begin{pmatrix} 5\; & 6\\ -8 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ C^{t}=\begin{pmatrix} 5\; & -8\\ 6 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ \end{array}$
$\begin{array}{lcl} A+B=C^{t}\\\\ \begin{pmatrix} 2x\; & -2\\ x \; & 3y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9\; & 3x\\ 8 \; & -4 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 5\; & -8\\ 6 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix} 2x+9\; & -2+3x\\ x+8 \; & 3y-2 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 5\; & -8\\ 6 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ \end{array}$
$\begin{array}{lcl} 2x+9&=&5\\ 2x&=&-4\\\\ 3y-2&=&7\\ 3y&=&9 \end{array}$

Maka
$\begin{array}{lcl} 2x+3y&=&-4+9\\ &=&5 \end{array}$

Jawaban ________________________ (C)

9. SIMAK UI 2012 Kode 224
Jika matriks $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2\; & 1\\ 3\; & 5 \end{pmatrix} \end{array}$, maka matriks $B$ yang memenuhi $\begin{array}{lcl} A+B^{T}=\left ( A-B \right )^{T} \end{array}$ adalah ....
    A. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 2\; &3 \\ 1\; & 5 \end{pmatrix} \end{array}$
B. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &2 \\ -2\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$
C. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &-2 \\ 2\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$
D. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &1 \\ -1\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$
E. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &-1 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$

Pembahasan:
Misal matriks
$\begin{array}{lcl} B&=&\begin{pmatrix} a\; &b \\ c\; & d \end{pmatrix}\\\\ B^{T}&=&\begin{pmatrix} a\; &c \\ b\; & d \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{lcl} A+B^{T}&=&\left ( A-B \right )^{T}\\ \begin{pmatrix} 2\; &1 \\ 3\; & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\; & c\\ b\; & d \end{pmatrix}&=&\left ( \begin{pmatrix} 2\; &1 \\ 3\; & 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a\; &b \\ c\; & d \end{pmatrix} \right )^{T}\\\\ \begin{pmatrix} 2+a\; &1+c \\ 3+b\; &5+d \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2-a\; &1-b \\ 3-c\; & 5-d \end{pmatrix}^{T}\\\\ \begin{pmatrix} 2+a\; &1+c \\ 3+b\; &5+d \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2-a\; &3-c \\ 1-b\; & 5-d \end{pmatrix} \end{array}$

$\begin{array}{lcl} 2+a&=&2-a\\ {\color{Red} a}&=&{\color{Red} 0}\\ 3+b&=&1-b\\ 2b&=&-2\\ {\color{Red} b}&=&{\color{Red} -1}\\ 1+c&=&3-c\\ 2c&=&2\\ {\color{Red} c}&=&{\color{Red} 1}\\ 5+d&=&5-d\\ {\color{Red} d}&=&{\color{Red} 0} \end{array}$

Maka matriks $\begin{array}{lcl} B=\begin{pmatrix} a\; &b \\ c\; & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\; &-1 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$

Sabtu, 16 September 2017

Soal dan Pembahasan UN SMA IPA Matriks-1

zulnining September 16, 2017 0 Comments

5. UN SMA 2014
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} -2 \; & x\\ 6\; &3 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} -5\; &14 \\ y\; & -2 \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} z \; & -1\\ 1\; &5 \end{pmatrix}$. Jika $A-B=C$,
    maka $x+y+x=$ ....
    A. 15
    B. 21
    C. 22
    D. 27
    E. 29

Pembahasan:

$A-B=C\\ \begin{pmatrix} -2\; &x \\ 6 \; & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -5\; &14 \\ y\; & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z\; &-1 \\ 1\; & 5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -2+5\; &x-14 \\ 6 -y\; & 3+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} z\; &-1 \\ 1\; & 5 \end{pmatrix}\\\\ z=-2+5\\ =3\\\\ x-14=-1\\ =-1+14\\ =13$
$6-y=1\\ y=5$

maka $x+y+z\\ =13+5+3\\ =21$

Jawaban __________________________ (B)

6. UN SMA 2015
   Nilai $a$ dari persamaan matriks $\begin{pmatrix} 5\; & 30\\ 1\; & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\; &a+3 \\ 2\; & 1 \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} 4\; &2 \\ -1\; &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\; &2 \\ 1\; &3 \end{pmatrix}$ adalah ....
   A. 75
   B. 11
   C. 9
   D. -9
   E. -11

Pembahasan:

$\begin{pmatrix} 5\; & 30\\ 1\; & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\; &a+3 \\ 2\; & 1 \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} 4\; &2 \\ -1\; &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\; &2 \\ 1\; &3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 6\; & 33+a\\ 3\; & 3 \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} 0+2\; &8+6 \\ 0+1\; &-2+3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 6\; & 33+a\\ 3\; & 3 \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} 2\; &14 \\ 1\; &1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 6\; & 33+a\\ 3\; & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\; &42 \\ 3\; &3 \end{pmatrix}\\\\ 33+a=42\\ a=42-33\\ =9$

Jawaban __________________________ (C)

Jumat, 15 September 2017

Soal dan Pembahasan UN SMA IPA Materi Matriks-1

zulnining September 15, 2017 0 Comments

3. UN SMA IPA 2012
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3\; & y\\ 5\; & -1 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} x \; &5 \\ -3 \; &6 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} -3\; & -1\\ y\; & 9 \end{pmatrix}$.
Jika $A+B-C=\begin{pmatrix} 8\; &5x \\ -x\; &-4 \end{pmatrix}$, maka nilai $x^{2}+2xy+y^{2}$ adalah ....
    A. 6
    B. 12
    C. 24
    D. 36
    E. 48

Pembahasan:
$A+B-C=\begin{pmatrix} 8\; &5x \\ -x\; &-4 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 3\; &y \\ 5\; &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x \; &5 \\ -3\; &6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -3\; &-1 \\ y\; & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\; &5x \\ -x\; &-4 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 3+x+3\; &y+5+1 \\ 5-3-y\; &-1+6-9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\; &5x \\ -x\; &-4 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 6+x\; \; &y+6 \\ 2-y\; &-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\; &5x \\ -x\; &-4 \end{pmatrix}$
$6+x=8\\ x=2\\\\ y+6=5x\\ y+6=5\left ( 2 \right )\\ y+6=10\\ y=4$
Nilai $x^{2}+2xy+y^{2}\\ =\left ( x+y \right )^{2}\\ =\left ( 2+4 \right )^{2}\\ =\left ( 6 \right )^{2}\\ =36$

Jawaban _________________________ (D)

4. UN SMA IPA 2013
    Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 3\; &w \\ x \; &-1 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} y \; & -3\\ 5\; & z \end{pmatrix}$, dan $C=\begin{pmatrix} 5\; &5 \\ 5 \; &10 \end{pmatrix}$. Jika $B^{T}$ adalah
    transpose dari matriks B, dan $A+B^{T}-C=\begin{pmatrix} 0 \; &4 \\ -3\; &-5 \end{pmatrix}$, maka nilai $w+x+y+z$ adalah ....
    A. 8
    B. 9
    C. 11
    D. 14
    E. 17

Pembahasan:
$B=\begin{pmatrix} y\; &-3 \\ 5\; & z \end{pmatrix}\\ B^{T}=\begin{pmatrix} y \; &5 \\ -3\; & z \end{pmatrix}\\\\ A+B^{T}-C=\begin{pmatrix} 0 \; &4 \\ -3\; &-5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 3 \; &w \\ x\; &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} y \; &5 \\ -3\; &z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 \; &5 \\ 5\; &10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \; &4 \\ -3\; &-5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 3+y-5 \; &w+5-5 \\ x-3-5\; &-1+z-10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \; &4 \\ -3\; &-5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3+y-5 \; &w+5-5 \\ x-3-5\; &-1+z-10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \; &4 \\ -3\; &-5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} y-2 \; &w \\ x-8\; &z-11 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \; &4 \\ -3\; &-5 \end{pmatrix}\\\\ y-2=0\\ y=2\\\\ w=4$
$x-8=-3\\ =-3+8\\ =5\\\\ z-11=-5\\ =-5+11\\ =6$
Nilai $w+x+y+z\\ =4+5+2+6\\ =17$

Jawaban _________________________ (E)

Kamis, 14 September 2017

Matriks-1

zulnining September 14, 2017 0 Comments

# Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun atas baris dan kolom

   $A=\begin{pmatrix} a_{11}\; & a_{21}\; &\cdots \; &a_{1n} \\ a_{21}\; & a_{22} \; & \cdots \; &a_{2n} \\ \vdots \; &\vdots \; &\; &\vdots \\ a_{m1}\; & a_{m2} \; & \cdots \; &a_{mn} \end{pmatrix}$

   * $a_{11}=$ anggota matriks A yang terletak pada baris kesatu dan kolom kesatu
$a_{22}=$ anggota matriks A yang terletak pada baris kedua dan kolom kedua
   * Banyaknya baris dan kolom merupakan ordo matriks. Pada matriks A
banyaknya baris $\left ( m \right )$ dan banyaknya kolom $\left ( n \right )$, sehingga matriks A ditulis $A_{m\: x\: n}$

# Transpose matriks, baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris. Transpose matriks disimbolkan dengan ' (aksen) atau T atau t
$A=\begin{pmatrix} {\color{Red} a} \; &{\color{Red} c} \\ {\color{Blue} b}\; &{\color{Blue} d} \end{pmatrix}$ maka $A^{'}=A^{t}=A^{T}=\begin{pmatrix} {\color{Red} a} \; &{\color{Blue} b} \\ {\color{Red} c}\; &{\color{Blue} d} \end{pmatrix}$

# Kesamaan matriks, dua buah matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan
anggota yang seletak harus sama
Misal $A=\begin{pmatrix} a \; &\; b \\ c\; &d \end{pmatrix};\; B=\begin{pmatrix} p\; & q\\ r\; &s \end{pmatrix}$
  $A=B$, jika $a=p, \: b=q,\: c=r,\: d=s$

# Operasi Matriks
* Penjumlahan dan pengurangan pada matriks dapat dilakukan jika ordonya sama
   Misal $A=\begin{pmatrix} 3\; & 9\\ 8\; & 7 \end{pmatrix},\; \; B=\begin{pmatrix} 6\; & 10\\ 9\; & 7 \end{pmatrix}\\ A+B=\begin{pmatrix} 3\; & 9\\ 8\; & 7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\; & 10\\ 9\; & 7 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 3+6\; & 9+10\\ 8+9\; & 7+7 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 9\; & 19\\ 17\; & 14 \end{pmatrix}$

* Perkalian matriks dengan skalar (k)
   Jika $A=\begin{pmatrix} a\; &c \\ b\; & d \end{pmatrix}$
   maka $kA=k\begin{pmatrix} a\; &c \\ b\; & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ka\; &kc \\ k b\; & kd \end{pmatrix}$
* Perkalian matriks dengan matriks
   Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom pada matriks A harus sama dengan jumlah
       baris pada matriks B
   $A_{m\: x\: n}\: x\: B_{n\: x\: p}=C_{m\: x\: p}$
   Misal $A=\begin{pmatrix} a\; & c\\ b\; & d \end{pmatrix},\; \; B=\begin{pmatrix} p\; & r \; &t \\ q\; & s \; & u \end{pmatrix}\\ A\; x\; B=\begin{pmatrix} ap+cq\; & ar+cs \; &at+cu \\ bp+dq\; & br+ds \; & bt+du \end{pmatrix}$

Soal dan Pembahasan
1. UN SMA IPA 2010
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4a\; & 8\; &4 \\ 6\; &-1 \; &-3b \\ 5\; &3c \; &9 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 12\; & 8\; &4 \\ 6\; &-1 \; &3a \\ 5\; &b \; &9 \end{pmatrix}$.
Jika $A=B$, maka $a+b+c=$ ....
A. -7
B. -5
C. -1
D. 5
E. 7

Pembahasan:

   $\; \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: A=B\\\\ \begin{pmatrix} 4a\; &8 \; &4 \\ 6 \; &-1 \; &-3b \\ 5 \; & 3c\; & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12\; &8 \; &4 \\ 6 \; &-1 \; &3a \\ 5 \; & b\; & 9 \end{pmatrix}\\\\ 4a=12\\ a=3$

$-3b=3a$
$-3b=3\left ( 3 \right )$
$-3b=9$
$b=-3$

$3c=b$
$3c=-3$
$c=-1$

maka $a+b+c=3+\left ( -3 \right )+\left ( -1 \right )=-1$

Jawaban ____________________________ (C)

2. UN SMA 2011 Matematika IPA
Diketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix} 5\; & -2\\ 9\; & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ x\; &x+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \; &0 \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}$.
    Nilai $x-y$ = ....
A. $\frac{5}{2}$
B. $\frac{15}{2}$
C. $\frac{19}{2}$
D. $\frac{22}{2}$
E. $\frac{23}{2}$

Pembahasan:

$\begin{pmatrix} 5\; & -2\\ 9\; & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ x\; &x+y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \; &0 \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 10-2 x\; & -5-2x-2y\\ 18-4x\; & -9-4x-4y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \; &0 \\ 0\; & 1 \end{pmatrix}$

$10-2x=1$
     $2x=9$
   $x=\frac{9}{2}$

$-5-2x-2y=0\\ -5-2\left ( \frac{9}{2} \right )-2y=0\\ -5-9-2y=0\\ -14-2y=0\\ -2y=14\\ y=-7$

maka nilai $x-y=\frac{9}{2}-\left ( -7 \right )\\ =\frac{9}{2}+7\\ =\frac{9}{2}+\frac{14}{2}\\ =\frac{23}{2}$

Jawaban ____________________________ (E)

Untuk soal dan pembahasan tentang Matriks-1 yang lain dapat di Klik
1 2 3

Rabu, 13 September 2017

Soal dan Pembahasan Matematika STIS 2017 N0. 18-34

zulnining September 13, 2017 0 Comments

Berbagi M@th - Silahkan di download soal dan pembahasan Matematika STIS 2017 No. 18-27, pada bagian ini materi yang di ujikan meliputi eksponen, matriks, program linier, limit, persamaan linier dua variabel, aplikasi trigonometri, dan soal-soal logika. Dengan adanya soal-soal ini, wawasan terhadap soal-soal yang di ujikan untuk masuk perguruan tinggi semakin bertambah.

Klik ------> Soal dan Pembahasan Matematika STIS 2017 No. 18-34

Selasa, 12 September 2017

Pertidaksamaan Logaritma

zulnining September 12, 2017 0 Comments

   Berbagi M@th - Pertidaksamaan logaritma merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma dengan tanda ketidaksamaan seperti $\large >$, $\large \geq$, $\large <$, dan $\large \leq$.
Penyelesaian pertidaksamaan bergantung dari nilai $\large a$ (basis atau bilangan pokoknya) dan untuk menyelesaikan pertidaksamaan harus mengetahui atau menguasai rumus-rumus logaritma

# untuk $\large a> 1$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )> \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum: $f\left ( x \right )> g\left ( x \right )$
Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\geq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum:    $f\left ( x \right )\geq g\left ( x \right )$
    Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )< \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum:    $f\left ( x \right )< g\left ( x \right )$
Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\leq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum: $f\left ( x \right )\leq g\left ( x \right )$
Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$

# untuk $\large 0< a< 1$
   $\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )> \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:              $\large f\left ( x \right )< g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
$\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\geq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:               $\large f\left ( x \right )\leq g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )< \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:               $\large f\left ( x \right )> g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
$\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\leq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:              $\large f\left ( x \right )\geq g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$

Solusi totalnya adalah semua nilai $x$ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat logaritma yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.

Soal dan Pembahasan:

1. UN Matematika SMA/MA IPA 2015
Batas nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\large ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )+^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x+1 \right )> -1$ adalah ....
    A. $\large 3< x< 4$
B. $\large -2< x< 4$
C. $\large -2< x< 3$
D. $\large x> 3$
E. $\large x> 4$

Pembahasan:
$\large ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )+^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x+1 \right )> -1\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left (\frac{1}{5} \right )^{-1}\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x^{2}-2x-3 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: 5$
Solusi umum:
karena nilai $a$ berada $\large 0< a< 1$, yaitu $\large a=\frac{1}{5}$ maka
$\large x^{2}-2x-3< 5\\ x^{2}-2x-3-5< 0\\ x^{2}-2x-8< 0\\ \left ( x-4 \right )\left ( x+2 \right )< 0\\ HP1\; \left \{ -2< x< 4 \right \}$

Solusi syarat logaritma:

$\large ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )+\: ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x+1 \right )> -1\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\:\left (\frac{1}{5} \right )^{-1}\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\:5\\ f\left ( x \right )> 0\\ \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> 0\\ HP2\; \left \{ x< -1\; atau\; x> 3 \right \}$

Solusi total