3. UM UGM 2015 Kode 622
Diberikan matriks $\begin{array}{lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\; dan \; Q=\begin{pmatrix} 2r\; & 1\\ r\; & p+1 \end{pmatrix} \end{array}$ dengan $\begin{array}{lcl} r\neq 0 \end{array}$ dan $\begin{array}{lcl} p\neq 0 \end{array}$. Matriks
$PQ$ tidak mempunyai invers apabila nilai $p$ = ....
$\begin{array}{lcl} A.\; -\frac{3}{2}\\ B.\; -\frac{1}{2}\\ C.\; -\frac{1}{4}\\ D.\; \frac{1}{2}\\ E.\; \frac{8}{7}\\ \end{array}$
Pembahasan:
Matriks $PQ$ tidak mempunyai invers maka $detPQ=0$
$\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\\ detP=\left ( 2 \right )\left ( 3 \right )-\left ( -1 \right )\left ( 4 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =6+4\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =10\\\\ Q=\begin{pmatrix} 2r\; &1 \\ r\; &p+1 \end{pmatrix}\\ detQ=\left ( 2r \right )\left ( p+1 \right )-\left ( 1 \right )\left ( r \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =2rp+2r-r\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =2rp+r\\ \; \;\; \; \; \; \; \; \, =r\left ( 2p+1 \right ) \end{array}$
$\begin{array} {lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: detPQ=0\\ \; \; \; \left ( detP \right )\left ( detQ \right )=0\\ \left ( 10 \right )\left ( r\left ( 2p+1 \right ) \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: r\left ( 2p+1 \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: 2p+1=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 2p=-1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: p=-\frac{1}{2} \end{array}$
Jawaban _______________________________ (B)
4. SBMPTN 2015 Kode 618
Jika $\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; &2a \\ a\; & 9 \end{pmatrix} \end{array}$ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua
nilai $a$ yang mungkin sehingga $\begin{array} {lcl} det\left ( A \right )=det\left ( A^{-1} \right ) \end{array}$ adalah ....
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
E. 50
Pembahasan:
$\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; &2a \\ a\; & 9 \end{pmatrix}\\ detA=\left ( 1 \right )\left ( 9 \right )-\left ( 2a \right )\left ( a \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =9-2a^{2}\\\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; det\left ( A \right )=det\left ( A^{-1} \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; det\left ( A \right )=\frac{1}{det\left ( A \right )}\\ det\left ( A \right )det\left ( A \right )=1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( detA \right )^{2}=1 \end{array}$
$\begin{array} {lcl} \; \; \; \; \; \; \left ( 9-2a^{2} \right )^{2}=1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}= \pm 1\\\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}= 1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \; 2a^{2}= 8\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; a^{2}= 4\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; \; \, a= \pm 2\\\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}=- 1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \; 2a^{2}= 10\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; a^{2}= 5\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; \; \, a= \pm \sqrt{5} \end{array}$
Hasil kali semua nilai $a$ yang mungkin
$\begin{array} {lcl} =\left ( 2 \right )\left ( -2 \right )\left ( \sqrt{5} \right )\left (- \sqrt{5} \right )\\ =20 \end{array}$
Jawaban _______________________________ (B)
Diberikan matriks $\begin{array}{lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\; dan \; Q=\begin{pmatrix} 2r\; & 1\\ r\; & p+1 \end{pmatrix} \end{array}$ dengan $\begin{array}{lcl} r\neq 0 \end{array}$ dan $\begin{array}{lcl} p\neq 0 \end{array}$. Matriks
$PQ$ tidak mempunyai invers apabila nilai $p$ = ....
$\begin{array}{lcl} A.\; -\frac{3}{2}\\ B.\; -\frac{1}{2}\\ C.\; -\frac{1}{4}\\ D.\; \frac{1}{2}\\ E.\; \frac{8}{7}\\ \end{array}$
Pembahasan:
Matriks $PQ$ tidak mempunyai invers maka $detPQ=0$
$\begin{array} {lcl} P=\begin{pmatrix} 2\; &-1 \\ 4\; & 3 \end{pmatrix}\\ detP=\left ( 2 \right )\left ( 3 \right )-\left ( -1 \right )\left ( 4 \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =6+4\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =10\\\\ Q=\begin{pmatrix} 2r\; &1 \\ r\; &p+1 \end{pmatrix}\\ detQ=\left ( 2r \right )\left ( p+1 \right )-\left ( 1 \right )\left ( r \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =2rp+2r-r\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \, =2rp+r\\ \; \;\; \; \; \; \; \; \, =r\left ( 2p+1 \right ) \end{array}$
$\begin{array} {lcl} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: detPQ=0\\ \; \; \; \left ( detP \right )\left ( detQ \right )=0\\ \left ( 10 \right )\left ( r\left ( 2p+1 \right ) \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: r\left ( 2p+1 \right )=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: 2p+1=0\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 2p=-1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \: p=-\frac{1}{2} \end{array}$
Jawaban _______________________________ (B)
4. SBMPTN 2015 Kode 618
Jika $\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; &2a \\ a\; & 9 \end{pmatrix} \end{array}$ merupakan matriks yang mempunyai invers, maka hasil kali semua
nilai $a$ yang mungkin sehingga $\begin{array} {lcl} det\left ( A \right )=det\left ( A^{-1} \right ) \end{array}$ adalah ....
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
E. 50
Pembahasan:
$\begin{array} {lcl} A=\begin{pmatrix} 1\; &2a \\ a\; & 9 \end{pmatrix}\\ detA=\left ( 1 \right )\left ( 9 \right )-\left ( 2a \right )\left ( a \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; =9-2a^{2}\\\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; det\left ( A \right )=det\left ( A^{-1} \right )\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; det\left ( A \right )=\frac{1}{det\left ( A \right )}\\ det\left ( A \right )det\left ( A \right )=1\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left ( detA \right )^{2}=1 \end{array}$
$\begin{array} {lcl} \; \; \; \; \; \; \left ( 9-2a^{2} \right )^{2}=1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}= \pm 1\\\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}= 1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \; 2a^{2}= 8\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; a^{2}= 4\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; \; \, a= \pm 2\\\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; 9-2a^{2}=- 1\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \; 2a^{2}= 10\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; a^{2}= 5\\ \; \; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; \; \, a= \pm \sqrt{5} \end{array}$
Hasil kali semua nilai $a$ yang mungkin
$\begin{array} {lcl} =\left ( 2 \right )\left ( -2 \right )\left ( \sqrt{5} \right )\left (- \sqrt{5} \right )\\ =20 \end{array}$
Jawaban _______________________________ (B)
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