Soal Tambahan Matriks-1

7. UM UGM 2017 Kode 723
 Jika $a$ memenuhi $\begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\; &5 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 20\; &-1 \\ -2\; & a^{2}+5 \end{pmatrix}^{T}$ dengan $A^{T}$ menyatakan transpose 
   matriks $A$, maka $a^{2}+a$ = ....
   A. 2
   B. 12
   C. 20
   D. 30
   E. 42

Pembahasan:

$\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a\; &5 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 20\; &-1 \\ -2\; & a^{2}+5 \end{pmatrix}^{T}\\\\ \begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a\; &5 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 20\; &-2 \\ -1\; & a^{2}+5 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix} a^{2}\; &3 \\ 0\; &6a \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} a+20\; &3 \\ 0\; & a^{2}+5 \end{pmatrix} \end{array}$ 

$\begin{array}{lcl} a^{2}&=&a+20\\ 6a&=&a^{2}+5\\ 6a&=&a+20+5\\ 5a&=&25\\ a&=&5 \end{array}$ 
Maka  
$\begin{array}{lcl} a^{2}+a&=&5^{2}+5\\ &=&25+5\\ &=&30 \end{array}$ 

Jawaban ________________________ (D)


8. SBMPTN 2014 Kode 663
  Jika matriks $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2x\; &-2 \\ x\; & 3y+2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix} 9\; & 3x\\ 8 \; & -4 \end{pmatrix} \end{array}$ dan $\begin{array}{lcl} C=\begin{pmatrix} 5\; & 6\\ -8 \; & 7 \end{pmatrix} \end{array}$ memenuhi $A+B=C^{t}$ dengan $C^{t}$    transpose matriks $C$, maka $2x+3y$ = ....
   A. 3
   B. 4
   C. 5
   D. 6
   E. 7

Pembahasan:
$\begin{array}{lcl} C=\begin{pmatrix} 5\; & 6\\ -8 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ C^{t}=\begin{pmatrix} 5\; & -8\\ 6 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ \end{array}$ 
$\begin{array}{lcl} A+B=C^{t}\\\\ \begin{pmatrix} 2x\; & -2\\ x \; & 3y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9\; & 3x\\ 8 \; & -4 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 5\; & -8\\ 6 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ \begin{pmatrix} 2x+9\; & -2+3x\\ x+8 \; & 3y-2 \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 5\; & -8\\ 6 \; & 7 \end{pmatrix}\\\\ \end{array}$ 
$\begin{array}{lcl} 2x+9&=&5\\ 2x&=&-4\\\\ 3y-2&=&7\\ 3y&=&9 \end{array}$ 

Maka
$\begin{array}{lcl} 2x+3y&=&-4+9\\ &=&5 \end{array}$ 

Jawaban ________________________ (C)


9. SIMAK UI 2012 Kode 224
  Jika matriks  $\begin{array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2\; & 1\\ 3\; & 5 \end{pmatrix} \end{array}$, maka matriks $B$ yang memenuhi $\begin{array}{lcl} A+B^{T}=\left ( A-B \right )^{T} \end{array}$ adalah ....
    A. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 2\; &3 \\ 1\; & 5 \end{pmatrix} \end{array}$ 
    B. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &2 \\ -2\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$ 
    C. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &-2 \\ 2\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$
    D. $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &1 \\ -1\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$ 
    E.  $\begin{array}{lcl} \begin{pmatrix} 0\; &-1 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$ 

Pembahasan:
Misal matriks 
$\begin{array}{lcl} B&=&\begin{pmatrix} a\; &b \\ c\; & d \end{pmatrix}\\\\ B^{T}&=&\begin{pmatrix} a\; &c \\ b\; & d \end{pmatrix} \end{array}$  
$\begin{array}{lcl} A+B^{T}&=&\left ( A-B \right )^{T}\\ \begin{pmatrix} 2\; &1 \\ 3\; & 5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\; & c\\ b\; & d \end{pmatrix}&=&\left ( \begin{pmatrix} 2\; &1 \\ 3\; & 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a\; &b \\ c\; & d \end{pmatrix} \right )^{T}\\\\ \begin{pmatrix} 2+a\; &1+c \\ 3+b\; &5+d \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2-a\; &1-b \\ 3-c\; & 5-d \end{pmatrix}^{T}\\\\ \begin{pmatrix} 2+a\; &1+c \\ 3+b\; &5+d \end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} 2-a\; &3-c \\ 1-b\; & 5-d \end{pmatrix} \end{array}$ 

$\begin{array}{lcl} 2+a&=&2-a\\ {\color{Red} a}&=&{\color{Red} 0}\\ 3+b&=&1-b\\ 2b&=&-2\\ {\color{Red} b}&=&{\color{Red} -1}\\ 1+c&=&3-c\\ 2c&=&2\\ {\color{Red} c}&=&{\color{Red} 1}\\ 5+d&=&5-d\\ {\color{Red} d}&=&{\color{Red} 0} \end{array}$ 

Maka matriks $\begin{array}{lcl} B=\begin{pmatrix} a\; &b \\ c\; & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\; &-1 \\ 1\; & 0 \end{pmatrix} \end{array}$