Pertidaksamaan Logaritma

   Berbagi M@th - Pertidaksamaan logaritma merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma dengan tanda ketidaksamaan seperti $\large >$, $\large \geq$, $\large <$, dan $\large \leq$.
Penyelesaian pertidaksamaan bergantung dari nilai $\large a$ (basis atau bilangan pokoknya) dan untuk menyelesaikan pertidaksamaan harus mengetahui atau menguasai rumus-rumus logaritma

# untuk $\large a> 1$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )> \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum: $f\left ( x \right )> g\left ( x \right )$
Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\geq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum:    $f\left ( x \right )\geq g\left ( x \right )$
    Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )< \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum:    $f\left ( x \right )< g\left ( x \right )$
Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\leq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
Solusi umum: $f\left ( x \right )\leq g\left ( x \right )$
Solusi syarat logaritma: $f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$

# untuk $\large 0< a< 1$
   $\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )> \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:              $\large f\left ( x \right )< g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
$\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\geq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:               $\large f\left ( x \right )\leq g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
   $\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )< \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:               $\large f\left ( x \right )> g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$
$\large ^{a}\textrm{log}\: f\left ( x \right )\leq \: ^{a}\textrm{log}\: g\left ( x \right )$
   Solusi umum:              $\large f\left ( x \right )\geq g\left ( x \right )$
   Solusi syarat logaritma: $\large f\left ( x \right )> 0,\; g\left ( x \right )> 0$

Solusi totalnya adalah semua nilai $x$ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat logaritma yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.

Soal dan Pembahasan:

1. UN Matematika SMA/MA IPA 2015
Batas nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\large ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )+^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x+1 \right )> -1$ adalah ....
    A. $\large 3< x< 4$
B. $\large -2< x< 4$
C. $\large -2< x< 3$
D. $\large x> 3$
E. $\large x> 4$

Pembahasan:
$\large ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )+^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x+1 \right )> -1\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left (\frac{1}{5} \right )^{-1}\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x^{2}-2x-3 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: 5$
Solusi umum:
karena nilai $a$ berada $\large 0< a< 1$, yaitu $\large a=\frac{1}{5}$ maka
$\large x^{2}-2x-3< 5\\ x^{2}-2x-3-5< 0\\ x^{2}-2x-8< 0\\ \left ( x-4 \right )\left ( x+2 \right )< 0\\ HP1\; \left \{ -2< x< 4 \right \}$

Solusi syarat logaritma:

$\large ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )+\: ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x+1 \right )> -1\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\:\left (\frac{1}{5} \right )^{-1}\\ ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\: \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> ^{\frac{1}{5}}\textrm{log}\:5\\ f\left ( x \right )> 0\\ \left ( x-3 \right )\left ( x+1 \right )> 0\\ HP2\; \left \{ x< -1\; atau\; x> 3 \right \}$

Solusi total