M@th

1. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 527

Jika  $a^{2}-bc$, $b^{2}-ac$, $a^{2}-ab$ adalah barisan aritmetika dengan  $a+b+c=18$, nilai $\frac{a+c}{b}$ ....
   A. $2$
   B. $3$
   C. $4$
   D. $6$
   E. $8$

   Konsep Dasar:
   Barisan aritmetika: barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berdekatan adalah sama
   Misal barisan aritmetika:$U_{1},U_{2},U_{3}, ....,U_{n}$
   maka beda: $b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=U_{n}-U_{n-1}$
   
   Pembahasan:
    $a^{2}-bc$, $b^{2}-ac$, $a^{2}-ab$ merupakan barisan aritmetika, maka:
    $\;\;\;\;\;\;\;\left ( b^{2}-ac \right )-\left ( a^{2}-bc \right )=\left ( c^{2}-ab \right )-\left ( b^{2}-ac \right )$

1. SIMAK UI 2019 MATEMATIKA DASAR KODE 527

Diketahui $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix},\; B=\begin{pmatrix}2 \; & 3\\ -2\;&4 \end{pmatrix} \end {array}$, dan $I$ adalah matriks identitas. 
   Jika $A+tB-2I$ adalah matriks singular, selisih nilai-nilai $t$ yang mungkin adalah ....
   A. $\frac{2}{7}$
   B. $\frac{15}{14}$
   C. $\frac{3}{7}$
   D. $\frac{9}{14}$
   E. $\frac{5}{7}$

   Konsep Dasar:
   Misal matriks $\begin {array}{lcl} A=\begin{pmatrix} a \; &b \\ c\; &d \end{pmatrix} \end {array}$
   maka $det(A)=|A|=a.d-b.c$
   Matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers dan $det=0$
   Matriks identitas: $\begin {array}{lcl} I=\begin{pmatrix} 1 \; &0 \\ 0\; &1 \end{pmatrix} \end {array}$

   Pembahasan:
   $\begin {array}{lcl} A+tB-2I=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}2 \; & 3\\ -2\;&4 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\;&0\\0\;&1\end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} 2 \; &-1 \\ 1\; &2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2t \; & 3t\\ -2t\;&4t \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\;&0\\0\;&2\end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\begin{pmatrix} -+2t\; &-1+3t \\ 1-2t\; &4t \end{pmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl} det(A+tB-2I)=\begin{vmatrix} -1+2t \; &-1+3t \\ 1-2t\; &4t \end{vmatrix} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left ( -1+2t \right )\left ( 4t \right )-\left ( -1+3t \right )\left ( 1-2t \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}-\left ( -1+2t+3t-6t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}-\left ( -1+5t-6t^{2} \right ) \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-4t+8t^{2}+1-5t+6t^{2} \end {array}$
$\begin {array}{lcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=14^{2}-9t+1 \end {array}$

   Karena $A+tB-2I$ adalah matriks singular, maka 
   $det(A+tB-2I)=0$
   $\;\;\;\;\;\;\,14t^{2}-9t+1=0$
    $\;\,\left ( 7t-1 \right )\left ( 2t-1 \right )=0$
   $\;\;\;t=\frac{1}{7}\: \vee \; t=\frac{1}{2}$
  Selisih dari nilai-nilai $t$ yang mungkin adalah
  $=\frac{1}{2}-\frac{1}{7}$
  $=\frac{5}{14}$

  ___________________________ (B)