Pertidaksamaan Eksponen

1.  Jika $a\; ^ {f\left ( x \right )}< a\; ^{g\left ( x \right )}$ maka
     (a)  $f\left ( x \right )< g\left ( x \right )$ untuk $a> 1$ 
           (bilangan pokok $a> 1$ maka tanda pertidaksamaannya
            tidak berubah) 
     (b)  $f\left ( x \right )> g\left ( x \right )$ untuk $0< a< 1$
           (bilangan pokok a berada diantara 0 dan 1 maka tanda
            pertidaksamaannya berubah) 


Contoh:
1.  Diketahui $5^{x-4}> 625$. Tentukan nilai x yang memenuhi!
     
     Pembahasan:  
     $5^{x-4}> 625$ 
     $5^{x-4}> 5^{4}$   (karena bilangan pokoknya 5 lebih besar dari 1
                              maka tanda pertidaksamaannya tetap)
     $x-4> 4$ 
     $x> 4+4$ 
     $x> 8$ 

2.  UM UGM Matematika Dasar 2004
     Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
     $4^{x-2}> \sqrt{x^{3x+1}}$ adalah .....
     (A)  $x> 2$ 
     (B)  $x> 4$
     (C)  $2< x< 4$ 
     (D)  $x> 9$
     (E)  $2< x< 9$

     Pembahasan:
     $4^{x-2}> \sqrt{2^{3x+1}}$      
     $4^{x-2}> 2^{\frac{3x+1}{2}}$ 
     $\left ( 2^{2} \right )^{x-2}> 2^{\frac{3x+1}{2}}$ 
     $2^{2x-4}> 2^{\frac{3x+1}{2}}$ 
     $2x-4>\frac{3x+1}{2}$         (sama-sama dikali 2)
     $2\left ( 2x-4 \right )> 3x+1$ 
     $4x-8> 3x+1$
     $4x-3x> 1+8$ 
     $x> 9$ 

     Jawaban ___________________ (D) 

3.  UMPTN Matematika Dasar Rayon B 1993
     Nilai x yang memenuhi  $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}}< \left ( \frac{1}{8} \right )^{6-x}$ adalah .....
     (A)  $x< -6$ atau $x> 3$ 
     (B)  $x< -3$ atau $x> 3$
     (C)  $-3< x< 6$ 
     (D)  $-6< x< 3$ 
     (E)  $0< x< 6$  

     Pembahasan:
     $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}}< \left ( \frac{1}{8} \right )^{6-x}$
       $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}}< \left ( \left (\frac{1}{2} \right )^{3} \right )^{6-x}$
       $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}}< \left (\frac{1}{2} \right )^{18-3x}$
     (karena bilangan pokoknya berada diantara 0 dan 1 maka tanda 
     pertidaksamaanya berubah)
     
       $x^{2}> 18-3x$
       $x^{2}+3x-18> 0$
       $\left ( x+6 \right )\left ( x-3 \right )> 0$  (karena tanda pertidaksamaannya lebih
                                  besar  gunakan atau)
     
      $x< -6$ atau $x> 3$ 

     Jawaban ___________________ (A)


2.  Pertidaksamaan eksponen berbentuk  $A\left \{ a^{f\left ( x \right )} \right \}^{2}+B\left \{ a^{f\left ( x \right )} \right \}+C< 0$ 
     Cara penyelesaiannya:
     * Misalkan  $a^{f\left ( x \right )}=y$, disubstitusikan kedalam
        pertidaksamaan $A\left \{ a^{f\left ( x \right )} \right \}^{2}+B\left \{ a^{f\left ( x \right )} \right \}+C< 0$ sehingga menjadi $Ay^{^{2}}+By+C< 0$ 
     * Selesaikan sistem pertidaksamaan $Ay^{^{2}}+By+C< 0$ tersebut
        Jika tandanya " > " maka penyelesaiannya x<kecil atau x>besar
        Jika tandanya " < " maka penyelesaiannya kecil<x<besar 

Contoh:
1. UN 2012 B47
    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
    $9^{2x}-10\; \cdot \; 9^{x}+9> 0$, $x\epsilon R$ adalah .....
    (A)  $x< 1$ atau $x> 9$ 
    (B)  $x< 0$ atau $x> 1$
    (C)  $x< -1$ atau $x> 2$
    (D)  $x< 1$ atau $x> 2$
    (E)  $x< -1$ atau $x> 1$

    Pembahasan:
    $9^{2x}-10\; \cdot \; 9^{x}+9> 0$
    $\left ( 9^{x} \right )^{2}-10\; \cdot \; \left ( 9 ^{x}\right )+9> 0$ 
    Misalkan  $9^{x}=y$, maka
    $y^{2}-10y+9> 0$ 
    $\left ( y-1 \right )\left (y-9\right)> 0$ 
    $y< 1$ atau $y> 9$ 
    $9^{x}< 1$ atau $9^{x}> 9$ 
    $9^{x}< 9^{0}$ atau $9^{x}> 9^{1}$ 
    $x< 0$ atau $x> 1$ 

    Jawaban ___________________ (B) 


2. UN 2012 C61
    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  $5^{2x}-6\; \cdot \: 5^{x+1}+125> 0$, $x\epsilon R$ adalah .....
    (A)  $1< x< 2$ 
    (B)  $5< x< 25$
    (C)  $x< -1$ atau $x> 2$
    (D)  $x< 1$ atau $x> 2$
    (E)  $x< 5$ atau $x> 25$

    Pembahasan:
     $5^{2x}-6\; \cdot \: 5^{x+1}+125> 0$ 
    $\left ( 5^{x} \right )^{2}-6\; \cdot \; \left ( 5^{x} \right )\: \; \cdot \; 5^{1}+125> 0$ 
    $\left ( 5^{x} \right )^{2}-30\; \cdot \; \left ( 5^{x} \right )+125> 0$ 
    Misalkan  $5^{x}=y$, maka   
    $y^{2}-30y+125> 0$ 
    $\left ( y-5 \right )\left ( y-25 \right )> 0$
    $y< 5$ atau $y> 25$ 
    $5^{x}< 5$ atau $5^{x}> 25$ 
    $5^{x}< 5^{1}$ atau $5^{x}> 5^{2}$ 
    $x< 1$ atau $x> 2$ 

    Jawaban ___________________ (D)